6番座標平面の原点を O で表す。線分 y = √ 3x(0 ≦ x ≦ 2) 上の点 P

６番
座標平面の原点を O で表す。
√
√
線分 y = 3x(0 5 x 5 2) 上の点 P と、線分 y = − 3x(−2 5 x 5 0) 上の点
Q が、線分 OP と線分 OQ の長さの和が 6 となるように動く。このとき、線分
PQ の通過する領域を D とする。
(1) s を 0 5 s 5 2 をみたす実数とするとき、点 (s, t) が D に入るような t の範
囲を求めよ。
(2) D を図示せよ。
【2014 東京大学理系】
解答
√ ) [
( √ )
(
]
1
(1) P p, 3p , Q q − 3q 0 5 p 5 2, −2 5 q 5 0 · · · · · · とおくと、OP= 2p,OQ= −2q であるから、
2
2p − 2q = 6 ⇔ p − q = 3 · · · · · · このとき、線分 PQ の方程式は
√
√
3 (p + q)
3 かつ
y=
(x − p) + 3p · · · · · · p−q
4
q 5 x 5 p······
y
B
A
Q
P
O
(x, y) ∈ D となる x, y の条件は、
1 ,
2 ,
3 ,
4 を同時に満たす p, q が存在する」
「
ような x, y の全体である。
まず,
2 ⇔q =p−3
を用いて、q が存在するために、

0 5 p 5 2, −2 5 p − 3 5 0



√

√
3 (p + p − 3)
y=
(x − p) + 3p

3



p−35x5p

5
 1 5 p 5 2, x 5 p 5 x + 3 · · · · · · √
⇔
 p2 − (3 + x) p + 3x + 3y = 0 · · · · · · 6
2
6 の左辺を f (p) とおくと、
√
)2
(
2 3y − x2 − 9
3+x
+
f (p) = p −
2
4
c
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-1-
RadicalMath
x
5 かつ p =
3+x
を xp 平面に図示すると右図のようになる。
2
p
2
1
−3
−2
−1
O
1
2
3
x
; 区間の中点の軌跡
5 かつ
6 をみたす p が存在するための条件を求めると、
この図より
( i ) −2 5 x 5 −1 のとき、軸 p =
3+x
は区間 1 5 p 5 x + 3 の外の左にある
2
から、

√
−4 + x + 3y


 f (1) =
50
√
4−x
2 √
⇔ − 3x 5 y 5 √

3

 f (x + 3) = 3x + 3y = 0
2
( ii ) −1 5 x 5 0 のとき、区間は 1 5 p 5 2 であり、軸 p =
3+x
は区間の中点
2
より左にあるから、
 √
2 3y − x2 − 9



50
x2 + 9
4+x
4
⇔ √ 5y5 √
√

3
2 3

 f (2) = −4 − x + 3y = 0
2
(iii) 0 5 x 5 1 のとき、区間は 1 5 p 5 2 であり、軸 p =
3+x
は区間の中点よ
2
り左にあるから、
 √
2

 2 3y − x − 9 5 0

x2 + 9
4−x
4
⇔ √ 5y5 √
√

3
2 3
−4 + x + 3y


=0
f (1) =
2
(iv) 1 5 x 5 2 のとき、区間は x 5 p 5 2 であり、軸 p =
3+x
は区間の右の外
2
にあるから、

√
−4 − x + 3y


 f (2) =
50
√
4+x
2√
⇔ 3x 5 y 5 √

3

 f (x) = −3x + 3y = 0
2
c
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-2-
RadicalMath
以上より −3 5 s 5 2 に対して、t の範囲は、
( i ) −3 5 s 5 0 のとき、
√
t2 + 9
− 3s 5 t 5 √
2 3
( ii ) 0 5 s 5 1 のとき、
√
3s 5 t 5
t2 + 9
√
2 3
(iii) 1 5 s 5 2 のとき、
√
s+4
3s 5 t 5 √
3
0 5 s 5 2 において、
4−s
s2 + 9
0 5 s 5 1 のときは、 √ 5 t 5 √
3
2 3
√
4+3
1 5 s 5 2 のときは、 3s 5 t 5 √
3
(2) (1) の結果を図示すると下図。
t
5
4
3
2
1
−3
−2
c
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−1
O
1
2
-3-
3
s
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