023_３次関数の接線の本数３次関数の接線の本数 3 2 3 次関数 f ( x) = ax + bx + cx + d ( a > 0) について f ′( x) = 3ax 2 + 2bx + c , f ′′( x) = 6ax + 2b y = f ( x) A １本３本 ⎛ b b ⎞⎞ , f ⎛⎜ − ⎟ ⎟ である． ⎝ 3a ⎠ ⎠ ⎝ 3a このとき，変曲点における接線を A とすると，平面上の点 P を通る曲線 y = f ( x) の接線の本数より，変曲点 A の座標は ⎜ − は次のように場合分けされる． ⎧ 接線 A と曲線 y = f ( x) で挟まれた領域 "３本 ⎪ 接線 A または y = f ( x) 上 ⎪ ⎨ ⎪ （ただし，変曲点を除く）"２本 ⎪⎩ それ以外 "１本１本２本３本２本例題．曲線 y = − x + 3 x の接線で，平面上の点 P を通るものは何本あるか．その本数を点 P の位置によって場合分けせよ． 3 2 f ( x) = − x 3 + 3 x 2 " ① とおくと， f ′( x) = −3 x 2 + 6 x = −3 x( x − 2) f ′′( x) = −6 x + 6 = −6( x − 1) f ′′( x) = 0 となる x の値は， x = 1 であるから，変曲点 ( 1 , 2 ) における接線の方程式は， y − 2 = 3( x − 1) ゆえに y = 3x − 1 " ② 3 2 曲線上の点 ( t , − t + 3t ) における接線の方程式は， y − (−t 3 + 3t 2 ) = (−3t 2 + 6t )( x − t ) s 整理して y = (−3t 2 + 6t ) x + 2t 3 − 3t 2 " ③ この③の式の見方を変えて，t について整理すると 2t 3 − 3( x + 1)t 2 + 6 xt − y = 0 " ④ この t についての 3 次方程式の実数解の個数が，接点の個数，すなわち接線の本数を表すことになる．そこで， g (t ) = 2t − 3( x + 1)t + 6 xt − y とおくと， 3 2 g ′(t ) = 6t 2 − 6( x + 1)t + 6 x = 6 {t 2 − ( x + 1)t + x} = 6(t − 1)(t − x) x = 1 のとき， g ′(t ) = 6(t − 1) 2 0 0 となり， g (t ) は単調増加となるから④の実数解の個 (ⅰ) 数は 1 個である． (ⅱ) x'1 のとき， g ′(t ) = 0 を満たす t の値は t = 1 , x の異なる 2 つの値があるから，増減表をかくと下表のようになる． −1− http://www.geocities.jp/ikemath x < 1 のとき … t x g ′(t ) ＋ 0 g (t ) 9 極大 … − 1 0 … ＋ : 極小 9 1 < x のとき … 1 t g ′(t ) ＋ 0 g (t ) 9 極大 … − x 0 … ＋ : 極小 9 いずれの場合も極値は g ( x) と g (1) である． g ( x) = 2 x 3 − 3 x 2 ( x + 1) + 6 x 2 − y = − x3 + 3 x 2 − y g (1) = 2 − 3( x + 1) + 6 x − y = 3 x − 1 − y から，④の実数解の個数は g ( x) g (1) < 0 すなわち (− x 3 + 3x 2 − y )(3 x − 1 − y ) < 0 のとき 3 個 g ( x) g (1) = 0 すなわち y = − x 3 + 3x 2 または y = 3x − 1 のとき 2 個 g ( x) g (1) > 0 すなわち (− x 3 + 3x 2 − y )(3 x − 1 − y ) > 0 のとき 3 個 (ⅰ)，(ⅱ)より，求める範囲を図示すると下図のようになる．図の斜線部分が，接線が 3 本ある点 P の存在範囲で，直線 y = 3 x − 1 または，曲線 y = − x + 3 x 上（点 ( 1 , 2 ) は除く）が 2 本，その他は 1 本である． 3 2 y = 3x − 1 １本３本３本１本 y = − x3 + 3x 2 −2−