ベクトル方程式 (円の接線) 点 O を基準とする. 中心が C( ~c ), 半径 r の円があり, 円上の 1 点を A( ~a ), 点 A における円の接線 ` を描く. ` 上の任意の点を P( ~p ) とする. P(~p) A(~a) C(~c) r O −→ −→ −→ − → 接線を表すベクトル方程式は P が A と異なる場合は AC ⊥ AP, P が A と一致する場合は AP = 0 −→ −→ なので, いずれの場合も AC · AP = 0. O を基準とする位置ベクトルを用いると −→ −→ AC ⊥ AP = 0 ⇔ ( ~c − ~a ) · ( ~p − ~a ) = 0 ⇔ ( ~c − ~a ) · ( ~p − ~c + ~c − ~a ) = 0 ⇔ ( ~c − ~a ) · ( ~p − ~c ) + ( ~c − ~a ) · ( ~c − ~a ) = 0 ⇔ −( ~a − ~c ) · ( ~p − ~c ) + | ~c − ~a |2 = 0 ⇔ ( ~p − ~c ) · ( ~a − ~c ) = r2 また, 次のように求めることも出来る. P(~p) A(~a) C(~c) θ O r −→ −→ CP と CA のなす角を θ とすると ( ~p − ~c ) · ( ~a − ~c ) = | ~p − ~c || ~a − ~c | cos θ = | ~p − ~c | cos θ · | ~a − ~c | = | ~a − ~c |2 = r2 ここで P(x, y), A(x1 , y1 ) とする. C が原点の場合 Ã ~p = Ã なので, x y !Ã · x1 y1 x y ! Ã , ~a = x1 y1 ! ! = r2 . 従って x1 x + y 1 y = r 2 . これは, 原点が中心で, 半径 r の円 C 上の点 A における接線の方程式である. また, C(a, b) である場 Ã ! Ã !Ã ! a x−a x1 − a 合は ~c = なので · = r2 . 従って b y−b y1 − b (x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2 . これは, (a, b) が中心で, 半径 r の円 C 上の点 A における接線の方程式である. 2014/7/3 http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/˜hirosawa/