(1,0,fx(a, b))

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³
問以下の問いに答えよ。
(1) 平面 ax + by + cz + d = 0 とベクトル (a, b, c) は直交することを証明せよ。
(2) xyz 空間の曲線 (x(t), y(t), z(t)) に対し、時刻 t = a でのこの曲線の接線ベクト
ルは (x0 (t), y 0 (t), z 0 (t)) になることが知られている。このことを利用して、曲線
(t, b, f (t, b)) の t = a における接線ベクトルを求めよ。同様に曲線 (a, t, f (a, t))
の t = b における接線ベクトルを求めよ。
(3) 曲面 z = f (x, y) 上の点 (a, b, f (a, b)) における法線ベクトルを求めよ。
(ヒント：法線ベクトルは前問の接線ベクトルと直交している。)
(4) 曲面 z = f (x, y) 上の点 (a, b, f (a, b)) における接平面の公式を導け。
µ
´
解答
(1) 平面上の 2 点 P (x1 , y1 , z1 ), Q(x2 , y2 , z2 ) を好きに選ぶ。すると平面上の点である
から、
ax1 + by1 + cz1 + d = 0,
ax2 + by2 + cz2 + d = 0
が成り立っている。この 2 式を辺々引くと
a(x1 − x2 ) + b(y1 − y2 ) + c(z1 − z2 ) = 0
−→
となる。従ってベクトル QP = (x1 − x2 , y1 − y2 , z1 − z2 ) とベクトル (a, b, c) の内積
は 0 であり、直交する。平面上の勝手な 2 点を結ぶベクトルとベクトル (a, b, c) は
直交しているから、平面とベクトル (a, b, c) は直交する。
(2) (1, 0, fx (a, b)), (0, 1, fy (a, b))
(3) ベクトル (1, 0, fx (a, b)), (0, 1, fy (a, b)) と直交するベクトルをひとつ求めればよい。
内積が 0 になればよいので答えは (−fx (a, b), −fy (a, b), 1)
(4) 接平面は法線ベクトルと直交しているので −fx (a, b)x − fy (a, b)y + z + d = 0 の形
をしている。あとはこの平面が点 (a, b, f (a, b)) を通るように d を定めればよい。答
えは
−fx (a, b)x − fy (a, b)y + z + fx (a, b)a + fy (a, b)b − f (a, b) = 0
あるいは整理して
z − f (a, b) = fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b)
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考え方
³
曲面 z = f (x, y) と平面 y = b の共通部分が曲線 (t, b, f (t, b)) である。同様に曲面
z = f (x, y) と平面 x = a の共通部分が曲線 (a, t, f (a, t)) である。xyz 空間でどのよう
な図になっているか考えること。時刻 t でパラメータ表示された曲線の接線ベクトル
を求めるには t で微分すればよい。
接平面の求め方はいろいろあるが、ここでは内積を利用した方法を解説した。平面
ax + by + cz + d = 0 の法線ベクトルが (a, b, c) である事実は重要。
µ
´

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