概論 IV 演習 §13. 無限遠点とリーマン球面 2015 年 1 月 20 日出題 [ 13.1 ] z, z 0 2 C が，それぞれリーマン球面上の点 P(X, Y, Z), P0 (X 0 , Y 0 , Z 0 ) に対応するとし（対応のさせ方は教科書のものとする），線分 PP0 の長さを d(z, z 0 ) で表す．次式を示せ： 2|z z 0 | p d(z, z 0 ) = p , d(z, 1) = p 2 2 0 2 1 + |z | 1 + |z | 1 + |z |2 Hint: (X X 0 )2 + (Y Y 0 )2 + (Z 講義中の公式を代入する． Z 0 )2 = 2 2(XX 0 + Y Y 0 + ZZ 0 ) としてから [ 13.2 ] z, z 0 2 C がそれぞれリーマン球面 P1 上の点 P, P0 に対応しているとする．このとき次を示せ． 2 点 P, P0 が P1 のある直径の両端の点 () zz 0 = 1． Hint: [13.1] を用いてもよいし，直接示してもよい． [ 13.3 ] z, z 0 2 C がそれぞれリーマン球面 P1 上の点 P, P0 に対応しているとする． zz 0 = 1 であるとき，2 点 P, P0 は P1 でどのような位置関係にあるか． [ 13.4 ] a, b 2 C が a < b をみたすとき，函数 Laurent 級数展開を書き下せ． (z 1 a)(z b) の z = 1 での [ 13.5 ] 次の各函数の 1 における特異点の性状について述べよ．主要部と留数も求めること． (1) sin4z (2) z sin 12 (3) z esin(1/z) z z [ 13.6 ] 無限遠点での被積分函数の留数を考えて，次の積分の値を求めよ． Z 1 z 17 dz 2⇡i |z|=3 (z 2 + 3)3 (z 3 + 3)4 [ 13.7 ] 前問と同様にして，積分 1 2⇡i Z |z|=1 dz を計算せよ． sin 1 z Z 1 dz [ 13.8 ] 積分を次の各場合に計算せよ． 2⇡i C (z 2)(z 13 1) (1) C : z = 3 (2) C : z = 3 2 Hint: (2) は (1) の積分に積分路変形の原理を適用せよ．以上