演習問題3

微分積分 II 演習第 3 回
2016 年 11 月 9 日
演習問題
問題 1. 関数 f ∈ C 2 (D) は fy (x, y) ̸= 0 とする．f (x, y) = 0 の陰関数 y = ϕ(x) について，次を示せ．
ϕ′′ = −
fxx + 2fxy ϕ′ + fyy (ϕ′ )2
.
fy
問題 2. 次の方程式 f (x, y) = 0 の陰関数 y = ϕ(x) の極値を求めよ．
(i) f (x, y) = x2 + 2xy + 2y 2 − 4 = 0
(ii) f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy 2 + 1 = 0
問題 3. 次の曲線 C 上の点 (a, b) における接線を，教科書問題 4.4 の 1 を用いて求めよ．
(i) C : f (x, y) = x2 + y 2 − r2 = 0 (r > 0)
(ii) C : f (x, y) = xy − k = 0 (k > 0)
(iii) C : f (x, y) = x3 − 3xy + y 3 = 0 (但し, (a, b) ̸= (0, 0) とする．)
問題 4. (fx )2 + (fy )2 > 0 のとき，f (x, y) = 0 上の点 (a, b) における法線は，次で与えられることを示せ．
fy (a, b)(x − a) − fx (a, b)(y − b) = 0.
√
問題 5. 原点を中心とする半径 3 3 の円周上における関数 z = x2 y の極値を求めよ．
問題 6. 辺の長さの和が 2k (k > 0) となる長方形のうち，面積が最大になるものを求めよ．
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