模擬試験解答

第一問
(1)P=RT/V なので
(
𝜕𝑃
𝑅𝑇
𝑃
) =− 2 =−
𝜕𝑉 𝑇
𝑉
𝑉
のどちらか。
(2)このまま両辺を微分
0 = 1+(
𝜕𝑦
𝜕𝑦 1
) + 2𝜋 cos 2𝜋𝑥 + ( )
𝜕𝑥 𝑧
𝜕𝑥 𝑧 𝑦
を解いて
𝜕𝑦
𝑦
−𝑦
(−1 − 2𝜋 cos 2𝜋𝑥 ) =
(1 + 2𝜋 cos 2𝜋𝑥 )
( ) =
𝜕𝑥 𝑧 1 + 𝑦
1+𝑦
(3)𝐴 = 2𝜋𝑦 cos 2𝜋𝑥𝑦,𝐵 = 2𝜋𝑥 cos 2𝜋𝑥𝑦
(4)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜆) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝜆(𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑦 2 + 𝑐𝑧 2 − 1)
としてから微分してゼロと置く。
1 + 2𝜆𝑎𝑥 = 0
1 + 2𝜆𝑏𝑦 = 0
1 + 2𝜆𝑐𝑧 = 0
から
1 1 1 1
( + + )=1
4𝜆2 𝑎 𝑏 𝑐
を得て、x = −1/2aλなどから、極値では
1 1 1 1
( + + )1
1 1 1
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −2 𝑎 𝑏 𝑐
= ±√ + +
𝜆
𝑎 𝑏 𝑐
最大値はプラスの方。
第二問
(1)
以下の積分を出して置く。
𝑏
𝑏−𝑎
∫ (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)𝑑𝑥 = ∫
𝑎
0
𝑥(𝑥 − (𝑏 − 𝑎))𝑑𝑥 =
(𝑏 − 𝑎)3 (𝑏 − 𝑎)(𝑏 − 𝑎)2
(𝑏 − 𝑎)3
−
=−
3
2
6
仕事は
𝑉𝐵
W = ∫ (𝑝0 − 𝐴(𝑉 − 𝑉𝐴 )(𝑉 − 𝑉𝐵 )𝑑𝑉 = 𝑝0 (𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 ) + 𝐴
𝑉𝐴
(2)
(𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 )3
6
CV (𝑇2 − 𝑇1 ) + 𝑊
(3) Q=CvdT + W
RdT = PdV + VdP = P0 𝑑𝑉 + 𝑉(−2𝐴𝑉𝐴 + 𝐴(𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 ))𝑑𝑉
により dT が出るので、
𝑄 = 𝐶𝑣 𝑑𝑇 + 𝑊 = (
𝐶𝑉
(𝑃 + 𝐴(VB − 𝑉𝐴 )) + 𝑃0 )𝑑𝑉
𝑅 0
(4)出っ張った部分だけの面積が外にする仕事なので、効率は
𝜂=
𝐴
(𝑉 − 𝑉𝐴 )3
6 𝐵
𝐴
(𝑉
)3
(𝑇
)
6 𝐵 − 𝑉𝐴 + 𝐶𝑉 2 − 𝑇1 + 𝑃0(𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 )
𝑉𝐵 =
𝑅𝑇2
𝑅𝑇1
, 𝑉𝐴 =
𝑅
𝑅
で消した方がいい。
(5)A を大きくすると効率は増えるが、放物線が T>T2 の領域を通るようになるとサイクル
がまわらないので無理。
(6)斜面の重りで圧力をかけ、斜面を適当に直線から変形させる。具体的な形は難しい。
他、不均一電場や磁場など。
第三問
(1)
𝜕𝑉
1 𝜕𝑉
𝑉𝑉( )
( )
𝑑𝑇
𝜕𝑉
𝜕𝑇 𝑃
𝜕𝑇 𝑃 𝑇𝑉𝛽
( ) =( ) =
=
=
𝜕𝑆
1 𝜕𝑆
𝑑𝑃 𝑆
𝜕𝑆 𝑃
𝐶𝑃
𝑇𝑇( )
(𝜕𝑇)
𝜕𝑇 𝑃
𝑃
(2)体積変化は
δV =
1
1
1
1
1
m3
L
−
=
−
= 0.9 × 10−3
(
) = 0.9 × 10−6
1.8
0.9
998.2 999.1 1000 1 −
kg
kg
1−
1000
1000
1 𝛿𝑉
1
1
= 0.18 × 10−3 = 0.2 × 10−3
V 𝛿𝑇
K
K
(3) Cp=4.2Joule/g/K、 1g=>10^(-6)m3 を(1)の結果に入れて、
dT = 300 × 10−6 × 0.2 × 10−3 ×
1
× (106 − 105 )
4.2
圧力は Pa、体積は m3 で入れる。0.013K を得る。
第四問
(1)
T − Tpure = R
2
Tpure
x2 ′′
L
に代入。L=540cal/g=540*4.2*18 Joule/mol
砂糖の分子量 C12H2211 342g/mol
1L の水 55mol
10g の砂糖 10/342 =0.03mol
x’’=1/55*(10/342)=5×10^(-4)
を代入。R=8.3 Joule/K/mol
T − Tpure = 8.3 ∗
T − Tpure = 8.3 ∗
(373)2
∗ 𝑥 ′′ = 28.3𝑥2′′ K
540 ∗ 4.2 ∗ 18 2
(373)2
∗ 5 ∗ 10−4 = 0.015 K
540 ∗ 4.2 ∗ 18
(2)沸点では１気圧、100℃で、蒸発熱は 2000Joule/g =2×10^6 Joule /kg。
蒸発した量は、(1000T)/(2×10^6)=0.5×10^(-3)×T
kg
水の体積は 1-0.5×10^(-3)×T kg がそのままリットル
水蒸気の体積は、分子量 18 とすると、22.4L が 18g なので、1g の体積は 22.4/18 ,
1kg の体積は 22.4/18*1e3
より
Ｖ＝22.4/18*0.5*T =0.62T
これはリットル
(22.4L は 0℃の値なので温度分を考慮すると３割変わる。ここでは無視。)
第五問
(1)
エネルギーの方程式、により
𝜕𝑈
𝜕𝑃
( ) = 𝑇( ) −𝑃
𝜕𝑉 𝑇
𝜕𝑇 𝑉
であって、
𝜕𝑃
𝑅𝑇
𝑇( ) =
= 𝑃 + 𝑎/𝑉 2
𝜕𝑇 𝑉 𝑉 − 𝑏
なので、
𝑈 = 𝐶𝑣 𝑇 −
𝑎
𝑉
(2)演習にあるので略
(3)n mol あるうち、1mol の部分が満たすべき式は
(p +
a
𝑉
) − 𝑏) = 𝑅𝑇
𝑛
2 ) ((
𝑉
(𝑛 )

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