解答

解
数学検定第２７２回２級２次：数理技能検定
問題１
が同時に成り立てばよい。
a 2 a2
f（x ）＝２ x − − ＋ a ＋１
２
２
①より
a 2 −２a −２＞０
a ＜１− ３，１＋３＜a
a2
a
f ＝ − ＋ a ＋１＜０ …①
２
２
a
＞０ …②
２
③より，a ＞ −１ …③
① ，② ，③ より，a ＞１＋３
（答） a ＞１＋３
⑵ ３個の球の色が１種類となるのは，赤球の
⑴ １０個の球から３個取り出す場合の数は
１０・９・８
10Ｃ3 ＝＝１２０（通り）
３・２・１
み取り出す場合と白球のみ取り出す場合であ
このうち，青球を除く８個の球から３個取
5Ｃ3 ＋ 3Ｃ3 ＝１０＋１＝１１（通り）
るから
り出す場合の数は
また，３個の球の色が３種類となるのは
８・７・６
8Ｃ3 ＝＝５６（通り）
３・２・１
5Ｃ1 × 2Ｃ1 × 3Ｃ1 ＝５×２×３＝３０
（通り）
よって，求める確率は
よって，求める確率は
１１＋３０
４１
７９
１− ＝１− ＝
１２０
１２０１２０
７９
（答）
１２０
５６
７
＝
１２０１５
（答）
７
１５
2
接点を
（a，b ）
とおくと，求める接線の方程式は
①，②より，a 2 ＋（２−３a ）＝２を解いて
ax ＋ by ＝２
１
a ＝，１
５
これが点（３，１）を通るので
１
１７
a ＝のとき，b ＝２−３× ＝
５
５５
３a ＋ b ＝２
すなわち
a ＝１のとき，b ＝２−３×１＝ −１
b ＝２−３a …①
以上より，求める接線の方程式は
また，点（ a ，b ）は円 x ＋ y ＝２上の点であ
2
2
るから
x ＋７y ＝１０，x − y ＝２
（答）x ＋７y ＝１０，x − y ＝２
a 2 ＋ b 2 ＝２ …②
問題４
…①
②より，a ＞０ …②
f（０）＝ a ＋１＞０ …③
問題３
２−２−１
f（x ）＝２x 2 −２ax ＋ a ＋１とおくと
よって
問題２
答
⑵ ２・５の正の約数は，２・５（ p ，q は０以
２，５はともに素数であることに注意する。
n
⑴ ２の正の約数は，１，２，２2，２3，…，２
n
n
上 n 以下の整数）であり，それらの総和は
×（１＋５＋５2＋５3 ＋ … ＋５）
n
n
２ −１
２−１
n＋1
n＋1
q
n
１＋２＋２2 ＋２3 ＋ … ＋２
＝２
p
（１＋２＋２2 ＋２3 ＋ … ＋２）
であるから，それらの総和は
＝
n
２ −１５ −１
＝・
２−１
５−１
n＋1
−１
（２
＝
n＋1
−１）
（５
４
n＋1
（答）２
−１
n＋1
n＋1
−１）
（２
（答）
−１）
（５
４
n＋1
Ｈ２７２２Ｇ０８
n＋1
−１）
２−２−２
問題５
問題６
境界線の本数は全部で，２n（ n −１）本。
ないように仕切ればよいので，必要な仕切り板
条件にそって，スタートからゴールまで進む
の枚数は全部で
とき，通過する境界線の本数は，道順にかかわ
２n（ n −１）−（ n2 −１）＝n 2 −２n ＋１（枚）
らず，つねに n 2 −１本。その他の境界線は通れ
これは n の値が変わらなければ，変わらない。
⑴ △ＡＢＣにおいて，余弦定理より
⑵ 四角形ＡＢＣＤは円に内接するので
ＡＣ＝８＋３ −２・８・３cos６０°
2
2
∠ＡＤＣ＝１８０°−∠ＡＢＣ＝１２０°
2
＝６４＋９−２・８・３・
１
２
ＣＤ＝x とおき，△ＡＣＤに余弦定理を用いると
７2 ＝５2 ＋ x 2 −２・５x cos １２０°
＝４９
４９＝２５＋x 2 −２・５x・ −
ＡＣ＞０より，ＡＣ＝７
（答）ＡＣ＝７
１
２
x 2 ＋５x −２４＝０
（ x ＋８）
（ x −３）＝０
x ＞０より，x ＝３
（答）ＣＤ＝３
問題７
β
（左辺）＝｛ x 2 −（α＋β）x ＋αβ｝d x
α
１
１
＝ x 3 − （α＋β）x 2 ＋αβx
３
２
β
α
１
１
１
１
α2 ＋α2β
＝ β3 − （α＋β）β2 ＋αβ2 − α3 − （α＋β）
２
２
３
３
１
１
（β2 −α2 ）＋αβ
（β−α）
＝（β3 −α3 ）− （β＋α）
２
３
１
１
2
− （β＋α）
（β−α）＋αβ
（β−α）
＝（β−α）
（β2＋βα＋α2 ）
２
３
１
（β2 ＋２βα＋α2 ）＋６αβ｝
＝（β−α）
｛２
（β2＋βα＋α2 ）−３
６
１
＝（β−α）
（−β2 ＋２βα−α2 ）
６
１
3
＝ − （β−α）
６
＝（右辺）
よって，与えられた等式は成り立つ。
Ｈ２７２２Ｇ０８

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