数理科学特論B2 §1 ベクトルの内積と外積

数理科学特論 B2
§1 ベクトルの内積と外積
1.1. ベクトル解析とは. 関数の基本 y = ax (１変数１次関数)
微分積分
１次とは限らない一般の関数を, 微分係数に
より１次関数のように理解
• １変数関数
y = f (x)
• 多変数関数
z = f (x, y)
線形代数
多変数 (ベクトル) から多変数 (ベクトル) への
１次関数
  
 
y1
x1
a11 · · · a1n
.
.
.
 ..  =  ..
..   ... 
yn
xn
an1 · · · ann
ベクトル解析
多変数 (ベクトル) から多変数 (ベクトル) の一般の関数の微分積分
注. この講義では主に 3 次元ベクトルを扱う.
1.2. ベクトルとスカラー.
• ベクトルとは, 変移 (移動), 速度, 力, 加速度のように, 向きと大きさを持った量であり, 有向
線分 (矢印) で表される.
• スカラーとは, 質量, 長さ, 時間, 温度のように, 大きさを持つが向きを持たない量, つまり単
なる数のことをいう.
1.3. 空間のベクトル. 原点を O とする xyz-空間の, x 軸, y 軸, z 軸の向きの大きさ 1 のベクトルをそ
れぞれ i, j, k で表す. これらを [
] とよぶ.
z
ベクトル A の始点を原点, 終点の座標を (Ax , Ay , Az ) とするとき,
A =[
]
と表せる. Ax , Ay , Az をそれぞれ A の x 成分, y 成分, z 成分とよぶ.
成分を用いて, さらに A を次のようにも表す.
 
Ax
A = Ay  あるいは, A = (Ax , Ay , Az )
Az
ベクトルにおいては始点のちがいを区別しない. 特に原点 O を始点
とするベクトルのことを [
] とよぶ.
y
x
ベクトルは A, B, C, . . . , a, b, c, . . . のように必ず太字で表す. 一方, スカラー量は普通の書
体 A, B, C, . . . , a, b, c, . . . で表す. これらを必ず区別すること.
1
2
A = (Ax , Ay , Az ) とする.
√
• |A| = A2x + A2y + A2z を A の [
] とよぶ.
• o = (0, 0, 0) を [
] とよび, スカラーの 0 とは区別する.
] とよぶ.
• |A| = 1 であるようなベクトル A を [
ベクトルの和と差 A = (Ax , Ay , Az ), B = (Bx , By , Bz ) とするとき, 和と差が次で定義される.
A + B =[
]
]
A − B =[
B
B
A
A
ベクトルのスカラー倍 A = (Ax , Ay , Az ) と実数 (スカラー)k に対して次で定義する.
kA =[
]
A
例題 1.1. A = (1, −4, −2), B = (2, 5, 1) とする.
A+B =
A−B =
2A =
1.4. ベクトルの内積. A = (Ax , Ay , Az ), B = (Bx , By , Bz ) とするとき, 内積を次の式で定義する.
A · B =[
]
A ̸= o, B ̸= o のとき, A と B のなす角を θ とすると, 次のように表すこともできる.
A · B = |A||B| cos θ
B
A
特に A ̸= o, B ̸= o のとき, A · B = 0
⇐⇒
[
]
3
例題 1.2. A = (1, −4, −2), B = (2, 5, 1) とする.
A·B =
内積の公式
• A·B =B·A
√
• |A| = A · A
• (A + B) · C =[
• (kA) · B =[
]
] =[
]
1.5. ベクトルの外積. A = (Ax , Ay , Az ), B = (Bx , By , Bz ) とするとき, 外積を次の式で定義する.
A × B =[
(
Ay Az ,
= By Bz i
j k
= Ax Ay Az
Bx By Bz
]
)
Az Ax Ax Ay , Bz Bx Bx By (行列式は形式的表現)
例題 1.3. A = (1, −4, −2), B = (2, 5, 1) とする.
A×B =
A×B
外積の図形的意味
• 大きさ：
• 向き：
B
A
4
外積の公式
• A × B = −B × A
=⇒
[
]
• (A + B) × C =[
• (kA) × B =[
]
] =[
]
基本ベクトルの外積成分から計算すると次が成り立つ.
• i × i = o, j × j = o, k × k = o
• i × j = −j × i = k, j × k = −k × j = i, k × i = −i × k = j
これらと公式を用いて, 外積の定義式を導くこともできる.
A × B = (Ax i + Ay j + Az k) × (Bx i + By j + Bz k) = · · ·
= (Ay Bz − Az By )i + (Az Bx − Ax Bz )j + (Ax By − Ay Bx )k
ここで定義した演算 A ± B, kA, A · B, A × B はすべて図形的意味を持つことを確認した. すな
わち, 座標系や成分表示に寄らず定まる量である.
1.6. 3 重積. A = (Ax , Ay , Az ), B = (Bx , By , Bz ), C = (Cx , Cy , Cz ) とするとき,
Ax Ay Az B Bz + Ay Bz Bx + Az Bx By = Bx By Bz A · (B × C) = Ax y
Cy Cz
Cz Cx
Cx Cy
Cx Cy Cz で定まる積をスカラー 3 重積とよぶ. 行列式の性質から, 次の公式が分かる.
A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B)
また, A × (B × C) はベクトル 3 重積とよばれ, 次が成り立つ.
A × (B × C) =
̸
(A × B) × C
A × (B × C) = (A · C)B − (A · B)C
(A × B) × C = (A · C)B − (B · C)A
上から分かるように, ベクトル 3 重積では結合法則が成り立たないので ( ) を省略できない.
例題 1.4. A = (2, −3, 0), B = (1, 1, −1), C = (3, 0, −1) とするとき,
A · (B × C) =

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