平成 26 年度数学 II 演習 ８
（ H26.
担当 佐藤邦 ）
（ 本日の講義終了時に回収します。
解以外の途中の計算等も余白に書くこと。 ）
問１
⃝
1 f (x) = x − 1
⃝
2 f (x) = −3x ⃝
3 f (x) = cos 2x
(
)
1 2
⃝
: R2 → R2
4 f (x) = log 3x ⃝
5 T は
3 4
次の f (x), T (⃗u) が線型写像か調べよ。
線型写像 ： [ (b) f (x + y) = f (x) + f (y)
学籍番号
氏名
&
(c) f (cx) = cf (x) ]
⃝
1 f (x) = x − 1 : f (x + y) = (x + y) − 1 = x + y − 1 , f (x) + f (y) = (x − 1) + (y − 1) = x + y − 2
x = y = 0 とすると、f (0 + 0) = 0 + 0 − 1 = −1 , f (0) + f (0) = 0 + 0 − 2 = −2
また、f (cx) = cx − 1 , cf (x) = c(x − 1) において、c = 2 , x = 1 とすると、
f (cx) = 2 − 1 = 1 , cf (x) = 2(1 − 1) = 0 より、 (b) も (c) も両方満たしてない。線型写像でない。
⃝
2 f (x) = −3x : f (x + y) = −3(x + y) = −3x + (−3y) = f (x) + f (y)
また、f (cx) = −3cx = c(−3x) = cf (x)
より、 (b) も (c) も両方満たしている。線型写像である。
⃝
3 f (x) = cos 2x : f (x + y) = cos 2(x + y) , f (x) + f (y) = cos 2x + cos 2y において、
x = y = 0 とすると、f (0 + 0) = cos 2(0 + 0) = cos 0 = 1 , f (0) + f (0) = cos 0 + cos 0 = 1 + 1 = 2
また、x = 0 , c ̸= 1 のとき f (c · 0) = cos(c · 0) = cos 0 = 1 ̸= c = c · cos 0 = cf (x) より、
(b) も (c) も両方満たしてない。線型写像でない。
⃝
4 f (x) = log 3x : f (x + y) = log 3(x + y) , f (x) + f (y) = log 3x + log 3y において、
x = y = 1 とすると、f (1 + 1) = f (2) = log 6 , f (1) + f (1) = log 3 + log 3 = log 9
1
1
また、x = 3 , c = のとき f (c · x) = f (1) = log 3 = 0 ̸= log 3 = c · log 3x = cf (x) より、
3
3
(b) も (c) も両方満たしてない。線型写像でない。
)
) (
( )
(
)(
)
x
+
x
+
2(y
+
y
)
x
1
2
x
+
x
1
2
1
2
1
2
=
⃗u =
∈ R2
: T (⃗u1 + ⃗u2 ) =
3(x1 + x2 ) + 4(y1 + y2 )
y1 + y2
y
3 4
)
) (
)( ) (
(
)( ) (
x2 + 2y2
x1 + 2y1
1 2
x2
1 2
x1
= T (⃗u1 + ⃗u2 )
+
=
+
T (⃗u1 ) + T (⃗u2 ) =
3x2 + 4y2
3x1 + 4y1
y2
3 4
y1
3 4
(
)( ) (
)
(
)
(
)( )
1 2
cx
cx + 2cy
x + 2y
1 2
x
また、T (c⃗u) =
=
=c
=c
= cT (⃗u) より、
3 4
cy
3cx + 4cy
3x + 4y
3 4
y
(
)
1 2
⃝
⃗u
5 T (⃗u) =
3 4
(
(b) も (c) も両方満たしている。線型写像である。
⃝
1
⃝
2
⃝
3
⃝
4
⃝
4
線型写像でない
線型写像である
線型写像でない
線型写像でない
線型写像である
問２
次の行列 A に対して、 線型写像 A の像 ImA
(
)
1 1 1
(1)
: R3 → R2
(2)
1 3 −1
(
(3)
2
2
2 −4
−2 −1 −2 2
)
: R4 → R2
を求め、更に Im A の１組の基底と次元を求めよ。
1 1 6
3
3
1 0 3 : R → R
2 −1 3
1 2 1 2 −1
0 −2 0 1 −2
(4)
: R5 → R4
2 2 2 1
0
1 0 1 −1 1
(
) x
{(
)
}
x
1
1
1 1 1
{
}
x
+
x
+
x
1
2
3
3
(1) Im A = A⃗x : ⃗x ∈ R3 =
=
∈ R2
x2 : x2 ∈ R
1
3
−1
x
+
3x
−
x
1
2
3
x3
x3
( )
}
{ ( )
( )
{
}
1
1
1
+ x3
∈ R2 = x1⃗a1 + x2⃗a2 + x3⃗a3 ∈ R2 となる。
+ x2
= x1
−1
3
1
{
(
)
c1 + 2c3 = 0
ここで、c1⃗a1 + c2⃗a2 + c3⃗a3 = ⃗0 より
, rank Im A = 2 となり、 c3 = s とおくと
c2 − c3 = 0
c1
−2s
−2
s = s 1 さらに s = 1 とおくと、−2⃗a1 + ⃗a2 + ⃗a3 = ⃗0 より ⃗a3 = 2⃗a1 − ⃗a2
c2 =
c3
s
1
{
(
)
}
∴ Im A = x1⃗a1 + x2⃗a2 + x3 2⃗a1 − ⃗a2 : x1 , x2 , x3 ∈ R
{(
)
(
)
}
= x1 + 2x3 ⃗a1 + x2 − x3 ⃗a2 : x1 , x2 , x3 ∈ R = {y1⃗a1 + y2⃗a2 : y1 , y2 ∈ R}
⃗a1 , ⃗a2 は Im A を生成し、c1⃗a1 + c2⃗a2 = ⃗0 より c1 = c2 = 0 となり ⃗a1 , ⃗a2 は一次独立。
( )
( )
(
)
1
1
∴ ⃗a1 , ⃗a2 は Im A の基底になる。 基底は ⃗a1 =
, ⃗a2 =
, 次元 dim Im A = 2
1
3
x1
x1
1 1 6
3
(2) (1) と同様に、 Im A = 1 0 3 x2 : x2 ∈ R
2 −1 3
x3
x3
6
1
1
{
}
3
= x1⃗a1 + x2⃗a2 + x3⃗a3 ∈ R3 となる。
= x1 1 + x2 0 + x3 3 ∈ R
3
−1
2
{
(
)
c1 − c2 = 0
ここで、c1⃗a1 + c2⃗a2 + c3⃗a3 = ⃗0 より
,
rank Im A = 2 となり、 c3 = s とおくと
c2 + 3c3 = 0
3
−3s
c1
c2 = −3s = −s 3 さらに s = −1 とおくと、3⃗a1 + 3⃗a2 − ⃗a3 = ⃗0 より ⃗a3 = 3⃗a1 + 3⃗a2
−1
s
c3
{
(
)
}
∴ Im A = x1⃗a1 + x2⃗a2 + x3 3⃗a1 + 3⃗a2 : x1 , x2 , x3 ∈ R
)
}
)
(
{(
= x1 + 3x3 ⃗a1 + x2 + 3x3 ⃗a2 : x1 , x2 , x3 ∈ R = {y1⃗a1 + y2⃗a2 : y1 , y2 ∈ R}
⃗a1 , ⃗a2 は Im A を生成し、c1⃗a1 + c2⃗a2 = ⃗0 より c1 = c2 = 0 となり ⃗a1 , ⃗a2 は一次独立。
1
1
(
)
∴ ⃗a1 , ⃗a2 は Im A の基底になる。 基底は ⃗a1 = 1 , ⃗a2 = 0 , 次元 dim Im A = 2
−1
2
(
x1
x2
x3
x4
x1
x2
x3
x4
)
2
2
2 −4
(3) (1) と同様に、 Im A =
∈ R4
:
−2
−1
−2
2
( )
( )
( )
{ ( )
}
{
}
2
2
−4
2
= x1
+ x2
+ x3
+ x4
∈ R4 = x1⃗a1 + x2⃗a2 + x3⃗a3 + x4⃗a4 ∈ R4 となる。
−1
−2
2
−2
{
(
)
c1 + c3 = 0
ここで、c1⃗a1 + c2⃗a2 + c3⃗a3 + c4⃗a4 = ⃗0 より
,
rank Im A = 2
c2 − 2c4 = 0
となり、 c3 = s ,
c1
−s
c 2t
2
=
c3 s
c4
t
c = t とおくと
4
1
0
0
2
= −s
+ t さらに s = −1 , t = 0 と s = 0 , t = 1 とおくと
−1
0
0
1
⃗a1 − ⃗a3 = ⃗0 と 2⃗a2 + ⃗a4 = ⃗0 より ⃗a3 = ⃗a1 , ⃗a4 = −2⃗a2
{
(
)
}
∴ Im A = x1⃗a1 + x2⃗a2 + x3⃗a1 + x4 − 2⃗a2 : x1 , x2 , x3 , x4 ∈ R
{(
)
(
)
}
= x1 + x3 ⃗a1 + x2 − 2x4 ⃗a2 : x1 , x2 , x3 , x4 ∈ R = {y1⃗a1 + y2⃗a2 : y1 , y2 ∈ R}
⃗a1 , ⃗a2 は Im A を生成し、c1⃗a1 + c2⃗a2 = ⃗0 より c1 = c2 = 0 となり ⃗a1 , ⃗a2 は一次独立。
( )
( )
(
)
2
2
∴ ⃗a1 , ⃗a2 は Im A の基底になる。 基底は ⃗a1 =
, ⃗a2 =
, 次元 dim Im A = 2
−2
−1
x1
x
1
1 2 1 2 −1
x
x
0 −2 0 1 −2 2 2
5
(4) (1) と同様に、 Im A =
x3 : x3 ∈ R
2 2 2 1
0
x4 x4
1
0
1
−1
1
x5
x5
1
2
1
2
−1
0
−2
0
1
−2
5
= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ∈ R
2
2
2
1
0
1
0
1
−1
1
{
}
= x1⃗a1 + x2⃗a2 + x3⃗a3 + x4⃗a4 + x5⃗a5 ∈ R5 となる。
c1 + c3 = 0
(
)
⃗
ここで、c1⃗a1 + c2⃗a2 + c3⃗a3 + c4⃗a4 + c5⃗a5 = 0 より
rank Im A = 3
2c2 + c5 = 0 ,
c −c =0
4
5
となり、 c3 = s , c5 = t とおくと
−s
0
−1
c1
−1
0
c −1t
2
2 2
s = s 1 + t 0
c3 =
1
0
c4
t
c5
t
0
さらに s = 1 , t = 0 と s = 0 , t = 1 とおくと
1
1
1
−⃗a1 + ⃗a3 = ⃗0 と − ⃗a2 + ⃗a4 + ⃗a5 = ⃗0 より ⃗a3 = ⃗a1 , ⃗a5 = ⃗a2 − ⃗a4
2
2
{
}
( )
(1
)
∴ Im A = x1⃗a1 + x2⃗a2 + x3 ⃗a1 + x4⃗a4 + x5 ⃗a2 − ⃗a4 : x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ∈ R
2
}
{
(
)
(
)
(
1 )
= x1 + x3 ⃗a1 + x2 + x5 ⃗a2 + x4 − x5 ⃗a4 : x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ∈ R
2
= {y1⃗a1 + y2⃗a2 + y3⃗a4 : y1 , y2 , y3 ∈ R}
⃗a1 , ⃗a2 , ⃗a4 は Im A を生成し、c1⃗a1 + c2⃗a2 + c4⃗a4 = ⃗0 より c1 = c2 = c4 = 0 となり ⃗a1 , ⃗a2 , ⃗a4 は一次独立。
1
2
2
0
−2
1
∴ ⃗a1 , ⃗a2 , ⃗a4 は Im A の基底になる。 基底は ⃗a1 = , ⃗a2 = , ⃗a4 = ,
2
2
1
1
0
−1
(
)
次元 dim Im A = 3
[オマケ]
問 2 (1)
1
1
1
0
1
0
1
0
1
3
1
2
1
1
0
1
1
−1
1
−2
1
−1
2
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
問 2 (2)
1 1
6 0
1 0
3 0
2 −1 3 0
0 1
3 0
1 0
3 0
0 −1 −3 0
0 1
3 0
1 0
3 0
0 0
0 0
1 0
3 0
0 1
3 0
0 0
0 0
問 2 (3)
2
2
2 −4 0
−2 −1 −2 2 0
2
2
2 −4 0
0
1
0 −2 0
2
0
2
0 0
0
1
0 −2 0
1
0
1
0 0
0
1
0 −2 0
問 2 (4)
1
0
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
2
−2
2
0
2
−2
−2
−2
0
0
−2
0
0
2
0
0
0
2
0
0
1
0
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
2
1
1
−1
2
1
−3
−3
−1
4
−3
0
−1
3
1
0
0
0
1
0
−1
−2
0
1
−1
−2
2
2
1
−4
2
0
1
−2
−1
0
0
1
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
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