力学演習問題問１らせん軌道 r = (R cos !t R sin !t vt) の速度ベクトルと加速度ベクトルを求め、図示せよ。問２地球と太陽の間には万有引力が働く。太陽と地球の間は光でも 8 分 20 秒程度かかる。太陽が瞬間的に消滅したとき、地球に働く万有引力はどうなるか考えよ。問３コインを落ちないように立てた紙の真上に載せよ。問４減衰振動の運動方程式 2 m ddtx2 = ;kx − 2h dx dt の解、x(t) = e; t (A cos !1 t + B sin !1 t) の A 、B を求めよ。ただし、初期位置 x(0) = x0 で初速度 v (0) = 0 で、h=m < k=m とする。本文で導出した !02 = k=m 、 = h=m 、!12 = !02 2 の関係を使ってよい。 q ; 問５次の振動現象は減衰振動、強制振動、自励振動のどれに当てはまるか。 (a) ギターの弦を引いたとき、数秒間は余韻が残りやがて消えた。 (b) チョークを黒板につけて動かすと、チョークが振動して点線が描けた。 (c) 笛の音はリードで発生するが、笛の筒の長さで音が変わる、すなわち筒の長さが長くなると音が低くなる。 (d) ゴムヨーヨー上端を上下にゆっくりゆするとヨーヨーも上下に動く、ゆする周期を早くすると逆向きに動く。 (e) 間欠泉では一定の時間間隔で蒸気や熱湯を噴出する。問６月の半径は 1740km で地球の半径の約 0.27 倍、月の質量は地球の約 0.012 倍である．月面からの脱出速度を求めよ。秒速と時速の両方で答えよ。 ; 問７ハレー彗星の近日点距離 a(1 ) は 0.586AU, 遠日点距離 a(1 + ) は 35.08AU である。長半径および周期を求めよ。1AU は地球と太陽の平均距離を表す。 1 問８質量 m の物体がバネ定数 k のバネに鉛直につり下げられて、全体がエレベータの中にあるとする。t = 0 で物体はつり合いの状態にあり、エレベータは止まっていた。その後、エレベータは鉛直方向に一定の加速度 a で上昇するとする。エレベータの中の人が観測する質点の運動方程式を示し、位置の時間変化をグラフで表せ。問９フーコーの振り子の振動面は福岡では 1 時間で何度回転するか。福岡の緯度は 33 度であるが約 30 度として計算せよ。問１０質量 m の物体をバネ定数 k のバネを介して N 個つないだ連成振動を上端を固定して鉛直につり下げてつりあいの位置に達した後、上端を離す。この時の重心の運動方程式を示し、重心の位置の時間変化を示せ。問１１質量の大きく異なる 3 つの物体（ m1 << m2 << m3 ）を重い順に重ねて、高さ h から落としたとき、床と弾性衝突した後、一番上の軽い物体が飛び上がる最高位置を求めよ。問１２質量 M で長さ l の棒の重心から l=4 の点を回転軸としたときの慣性モーメントを積分して求めよ。さらに重心から離れた点のまわりの慣性モーメントの式を使って求めた値と等しいことを示せ。問１３質量 M で半径 a 、高さ h の円筒を角度の斜面上を転がしたときの加速度を求めよ。 2