(2) x ≧ 0 y = f(x)

1
1
3
5a5
の範囲で動くものとする．原
2
2
点と点 P の 2 点を通る直線を `，点 P における y = f(x) の接線を m とする．このとき，次の各問いに答
f(x) = 1 ¡ x2 とし，曲線 y = f(x) 上の点 P(a; f(a)) は
えよ．
(1) 2 直線 ` と m の方程式を求めよ．
(2) x = 0 において，y 軸と曲線 y = f(x) および直線 ` で囲まれた図形の面積を S1 (a) とし，y 軸と曲線
y = f(x) および直線 m で囲まれた図形の面積を S2 (a) とする．S1 (a) と S2 (a) を a を用いて表せ．
(3) S1 (a) = 2S2 (a) を満たす a の値を求めよ．
(4) S1 (a) ¡ S2 (a) の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの a の値を求めよ．
（長崎大学 2011 ）
2
3 辺の長さが AB = 4; BC = 3; CA = 5 である直角三角形 ABC と，その内側にあって 2 辺 AB および AC
に接する円 O を考える．この円の半径を r とし，中心 O から AB に引いた垂線と AB との交点を H とする．
¡! ¡!
¡
! ¡
!
¡!
¡
!
また，ベクトル AB，AC と同じ向きで大きさが 1 のベクトルを，それぞれ u ; v とし，AH = t u (t > 0)
とする．次の問いに答えよ．
¡¡! ¡
! ¡
!
(1) 直線 AO と辺 BC の交点を M とするとき，ベクトル AM を u と v を用いて表せ．
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
¡! ¡!
¡
! ¡
!
(2) ベクトル u ; v の内積 u ¢ v を求め，ベクトル AO と HO を，それぞれ u ; v および t を用いて表せ．
また，円 O の半径 r を t で表せ．
(3) 円 O が辺 BC にも接するとき，その中心を I とする．すなわち，I は三角形 ABC の内心である．そのと
きの t の値と，内接円 I の半径を求めよ．
(4) 円 O と内接円 I が共有点をもたないような t の範囲を求めよ．
（長崎大学 2011 ）
3
a; b は実数で，a > 1 とする．t の関数
f(t) = 2t3 ¡ 3(a + 1)t2 + 6at + b
について，次の問いに答えよ．
(1) 関数 f(t) の極値を，a; b を用いて表せ．
(2) a の値を x 座標，b の値を y 座標とする xy 平面上の点 P(a; b) を考える．このとき，3 次方程式 f(t) = 0
が相異なる 3 つの実数解をもつような点 P(a; b) の存在する領域 D を xy 平面上に図示せよ．
(3) D および D の境界からなる領域を E とする．領域 E のうち，
y 5 ¡x2 + 4x ¡ 11
を満たす部分の面積を求めよ．
（長崎大学 2010 ）
4
正三角形 ABC において，線分 AB を 2 : 1 に内分する点を D，線分 BC の中点を E，点 E から直線 AB に
¡! ¡
! ¡! ¡
!
引いた垂線と AB の交点を H とする．また，HB = a ; HE = b とする．次の問いに答えよ．
¡! ¡!
(1) AB; AH;
¡! ¡
!
(2) CD を a ;
¡! ¡
!
DB を a を用いて表せ．
¡
!
b を用いて表せ．
¡! ¡!
(3) 線分 HE 上の点 F が AF ? CD を満たすとき，F は線分 EH を 2 : 1 に内分することを示せ．
（長崎大学 2010 ）
5
a を正の定数とする．曲線 A : y = ¡x2 + a2 (2a + 1) と曲線 B : y = x3 + ax2 は相異なる 3 点 P，Q，R
で交わるものとし，3 点の中で x 座標が最大であるものを P，最小であるものを R とする．また，点 P に
おける曲線 B の接線を ` とする．次の問いに答えよ．
(1) a はどのような範囲にあるか．
(2) 点 Q の x 座標を b，点 R の x 座標を c とする．b; c を a を用いて表せ．
(3) b < ¡a が成り立つことを示せ．
(4) 点 P の座標と直線 ` の方程式を，a を用いて表せ．
(5) 曲線 A と直線 ` で囲まれた部分で x = 0; y = 0 である領域の面積を，a を用いて表せ．
（長崎大学 2008 ）
6
関数 f(x) =
Z
x
a
(t2 ¡ t) dt について，次の問いに答えよ．ただし，a は実数の定数とする．
(1) 関数 y = f(x) の増減を調べ，f(x) の極大値および極小値を，a を用いて表せ．
(2) 関数 y = f(x) のグラフと x 軸が異なる 3 点で交わるための a の範囲を求めよ．
（長崎大学 2007 ）
7
m は正の定数とする．関数
f(x) = x3 ¡ (2m + 1)x2 + m2 x
について，次の問いに答えよ．
(1) 方程式 f(x) = 0 は 0 以外に相異なる 2 つの実数解をもつことを示せ．
(2) 方程式 f(x) = 0 の 0 以外の解を，®; ¯ (® < ¯) とする．® + ¯ および ®¯ を m を用いて表せ．また
®; ¯ がともに正であることを示せ．
(3) 曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた図形について，y = 0 の範囲にある部分の面積と y 5 0 の範囲にある部
分の面積が等しいものとする．そのとき，m; ®; ¯ の値を求めよ．
（長崎大学 2007 ）
8
a を実数とし，関数
f(x) = sin 2x + 2a(sin x ¡ cos x) + a3
(0± 5 x 5 180± )
を考える．次の問いに答えよ．
(1) t = sin x ¡ cos x (0± 5 x 5 180± ) とおき，f(x) を t の関数 g(t) として表せ．また，t の値の範囲を求
めよ．
(2) t が (1) で求めた範囲を動くとき，g(t) の最大値 m(a) を求めよ．
(3) 関数 y = m(a) のグラフをかけ．
（長崎大学 2006 ）
9
a; m; n を正の定数とし，
`:y=
1
x + a;
2
C : y = ¡mx2 + nx
とする．直線 ` と放物線 C は第 1 象限で接し，その接点の x 座標は 2 とする．次の問いに答えよ．
(1) m; n を a を用いて表せ．
(2) x 軸と C の 0 5 x 5 2 の部分および直線 x = 2 で囲まれた図形の面積を S とし，x 軸と C で囲まれた図
形の面積を T とする．条件 T = 2S + 11 を満たす a の値を求め，そのときの m; n; S; T の値を求めよ．
（長崎大学 2006 ）
10 i を虚数単位として，次の問いに答えよ．
(1) 3 次方程式 x3 = 1 を解け．
p
p
(2) a = m + 7ni とするとき，a3 = 225 + 2 7i が成り立つ．このような整数 m; n の組を求めよ．
p
(3) ¯3 = 225 + 2 7i を満たす複素数 ¯ をすべて求めよ．
（長崎大学 2008 ）

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