− 10 − 2002 年度 基礎数学ワークブック Ser.A , No.9 < 1 階線形微分方程式の一般解 1 > 一般の 1 階線形微分方程式 (1) dy + p(t)y = q(t) dt の一般解を求めるため、同次方程式 dy (2) + p(t)y = 0 dt の一般解 R y0 = Ce− p(t)dt の定数 C を C(t) におきかえたものを (3) y = C(t)e− R p(t)dt とおく。(1) に代入すると R dy d ³ + p(t)y = C(t)e− dt dt = C 0 (t)e− = C 0 (t)e− (1) より R R C 0 (t)e− ⇓ R p(t)dt p(t)dt p(t)dt (4) C(t) = ³ ´ R + p(t) C(t)e− p(t)dt − p(t)C(t)e− p(t)dt R p(t)dt + p(t)C(t)e− ⇓ R q(t)e R R p(t)dt = q(t) 両辺に e C 0 (t) = q(t)e Z ³ ´ p(t)dt p(t)dt R p(t)dt をかける 積分 ´ dt + C より (4) を (3) に代入すると (1) の一般解は ½Z ³ ¾ R ´ R p(t)dt y= q(t)e dt + C e− p(t)dt à 1 階線形微分方程式 (1) の一般解の公式 問 1 微分方程式 dy − ay = q(t) dt R の一般解を (上の公式で p(t)dt = −at とおくことにより) 求めよ。 問 2 微分方程式 dy − ay = eat dt の一般解を (問 1 の結果で q(t) = eat とおくことにより) 求めよ。 !
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