演習９ z−i −4w + 3 と u = ϕ2 (w) = の合成 z+i −w + 3 ϕ2 ◦ ϕ1 (z) = ϕ2 (ϕ1 (z)) を計算せよ。 I. 一次分数変換 w = ϕ1 (z) = II. 一次分数変換 w = ϕ(z) = 求めよ。 z−1 の逆変換 ϕ−1 (w) (ϕ−1 (ϕ(z)) = z) を z+2 III. 複素 w 平面内の次の集合を図示せよ一次分数変換の円円対応に着目）。 { } iz D= w= | |z − 1| < 1 . z−i IV. (i) 1, i, 0 をそれぞれ順に 0, 1, ∞ に移す一次分数変換を求めよ。 (ii) 1, i, 0 をそれぞれ順に i, 1 + i, −i に移す一次分数変換をもとめよ。 V. 0, 1 + i, 2 をそれぞれ順に −1, i, 1 にうつす一次分数変換 w = ϕ(z) を求めよ。それによって円の内部 |z − 1| < 1 は w 平面のどのような領域にうつるか決定せよ。 —————————————————————————— I, II. それぞれ一次分数変換に自然に対応する２次行列を考えるのが便利．一次分数変換の合成は行列の積（順番を間違えないように注意）、逆変換は逆行列（より実際には余因子行列）を考えればよい． iz の逆変換 z = · · · を求めて（II 参照）, |z − 1| = 1 に代入 z−i して w に関する式をつくればよい。 III. w = IV. (ii) 直接考えてもよいが、まず z)1 , z2 , z3 を順に 0, 1, ∞ に移す一次 ( z − z1 z2 − z3 · を (i) と合わせて自然に２個作り、分数変換つまり、 z − z3 z2 − z1 片方の逆変換をとって、それから 2 つの一次分数変換の合成を考えるとよい。 1 V. 一次分数変換の円円対応は円周同士が対応するだけでなくさらに、定義域の円で区切られた各領域は、値域の円で区切られた各領域に対応する（ ”円のうちそと関係 ”はそのままか，あるいはひっくりかえるかのどちらか)。うちそとは問題となっている定義域内の領域 (いまの場合は |z − 1| < 1) に入っている適当な点（例えば z = 1）の行き先をみれば判定できる。 2