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問題19 極座標による軌道の式を導く
（演習問題7、自習）
ae  r cos 
2
a
2
r 2 sin 2 

1
2
b
に⑧、⑨式を代入して
l
r
1  e cos 
となることを導け。
1
ae  r cos 
r 2 sin 2 

1
2
2
a
b
a 2e 2  2aecos  r  cos2   r 2 sin 2   r 2

1
2
2
a
b
 cos2  sin 2   2 2e cos
2
 2  2 r 
r  e 1  0
b 
a
 a
2
2
これに⑧、⑨式を代入して
 1  e  cos  1  e sin  
2e1  e cos

r

re


2 2
2
2
2
2
2
2
1  0


sin 2   cos2   e 2 sin 2   cos2   e 2 cos2   e 4 cos2  2 2e 1  e 2 cos
r 
r  e2  1  0
2
l
l
1  e 2  e 2 cos2   e 4 cos2  2 2e 1  e 2 cos
2
r

r

e
1  0
2
l
l
1  e 2 1  cos2  2 2e 1  e 2 cos
r 
r  1  e2  0
2
l
l
1  e 2 cos2  2 2e cos
r 
r 1  0
2
l
l
1  e 2 cos2  r 2  2le cos  r  l 2  0
l
2
l


2
l















3
２次方程式の解の公式より


 le cos  l 2e2 cos2   1  e2 cos2  l 2
r
2
2
1  e cos 
r>0を考慮して±の＋だけをとり、整理すると
 le cos  l e cos   1  e cos  l
r
1  e2 cos2 
 le cos  l
l


1  e cos 1  e cos  1  e cos
2 2
2
2
2
2
よって、「惑星は太陽を１つの焦点とする楕
円上を運動する(ケプラーの第１法則) 」が得
4
られた。

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