(1) A

弦と気柱の共鳴の解答
(1)
A:
!
S
8l
= f・ B :
ρ
n1
!
S
6l
= f ・ 2 式より n1 : n2 = 2 : 3 ∴ A：2 個，B : ３個
4ρ
n2
(2)
V
2f1
(3)
λ
3V
×3=
2
2f1
ドップラー効果の解答
(1) 直接音の振動数を fD , 反射音の振動数を fR とするとうなりの振動数は
fD =
V
V
2vV
f0 ，fR =
f0 ∴ f = fR − fD = 2
f0
V +v
V −v
V − v2
(2) うなりがなくなるのは fD = fR となるときなので, 右向きを正として w の速度とすると，
V
V −w
V
f0 =
・
f0 ∴w = v 右向き
V +v
V −v V +w
[別解] fD は不変より，fD = fR とするには音源と壁との相対速度を 0 にすればよいので，右向きに w = v 。
(3)
a
V
(4) θ のとき出された音を聞く時刻 t1 は
t1 =
a
tan θ
v
+
a
sinθ
V
=
a
a
+
v tan θ V sinθ
微小時間 ∆T 後に出された音を聞く時刻 t2 は
t2 =
a
+
v tan θ
よって時間差 ∆t は
∆t =
a
sinθ
+ v∆T cosθ
+ ∆T
V
V + vcosθ
∆T
V
(5) 音源が ∆T に出した波の個数と観測者が ∆t に聞く波の個数は等しいので
f0 ∆T = f ∆t ∴ f =
3
V
f0
V + vcosθ
ドップラー効果大阪大 ★★★★
(1)
V
f0 ，fC = f0
V −v
fA =
(2) (イ) AD 方向の音速は
u
V =√ +
2
!
CD 方向の音速は
!
u2
2
V2−
V +u
(ロ)
!
fA =
これらより
!
!
V
f0 また fC = f0
V! −v
!
f
u
v = (1 − C! )｛ √ +
fA
2
!
fD =
!
V
V! −
V2−
u2
｝
2
f0 また fC = f0
!
√v
2
これらより
!
fc
!
fD =
!
1−
√1 (1
2
11
−
!
fC
! )
fA
ドップラー効果 12 金沢大 ★★★
問１
V − vA
fA
!
λ =
!
f =
問２
V
fA
V − vA
V − vO
fA
V
問３
!!
f =
V + vO V − vS
・
fA
V + vS
V
問４直接音の振動数は
f
!!!
=
V − vO
fA
V
うなりの振動数は
!!
!!!
|f − f | =
2(vS − vO )
fA
V + vS
問５観測者の位置は二つのスピーカの中点なので定常波の腹となる。 λ2 ごとに定常波の腹となるので，観測
者の移動速度を u, 時間間隔を T とすれば
uT =
λ
V
∴ u =
≈ 2.83 × 10−1
2
2T f
問６音源 B の速さを kV とおけば，観測者が感じる A.B からの音波の振動数が等しければうなりは消える
ので
V
V −
V
30
fA =
V
fB
V − kV
∴ k ≈ 1.30 × 10−1
12
ドップラー効果 10 東大 ★★★★
I (1) f = V /λ と
λ1 /2 = L ，λ2 = L ，3λ3 /2 = L
∴ (2)
V
V
3V
， , 2L
L
2L
λ1 /4 = L ，3λ2 /4 = L ，5λ3 /4 = L
∴ V
3V
5V
， , 4L
4L
4L
II (1)
400 <
nV
< 700 ∴ n = 3, 4
2L
694Hz のとき 0, 0.25, 0.50, 0.75, 1
(2)
3V
= 519 ∴ V ≈ 346[m/s]
2L
III
400 <
!
1 n−1
+
4
2
"
V
< 700 ∴ n = 3, 4
L
5
n = 3 のとき × 346 ≈ 433[Hz]
4
7
n = 4 のとき × 346 ≈ 606[Hz]
4
IV (1)(2)
#
!
1+
V
V
−
V − v V − v/2
"
f1 = 2
#
v
v $$
− 1+
f1 = 2 ∴ v ≈ 3[m/s] V
2V
13
ドップラー効果 ★★★★★ 99 東大
I
A にはまず直接音が聞こえ，その後反射音がまじるとうなりとなって聞こえる。
そして A がトンネルに近づくにつれ，直接音と反射音の時間差はなくなっていき，A が
トンネルに入るとき直接音と反射音は同時に消えるのでうなりが消えると同時に音は消え
る。よってア
II
直接音：f1 = f0 (両者の相対距離は不変なので振動数不変)
トンネルを反射板とするドップラー効果の式より，
反射音：f2 =
V +u V
V +u
f0 =
f0
V V −u
V −u
III
tA1 =
L
V +u
L + 2X の距離を相対速さ V + u で進むので
tA2 =
L + 2X
V +u
IV
視線の角度はどんどん小さくなっていくので，音源の観測者方向への速度成分はどんどん
小さくなるので，振動数は単調に減少する。よってア
V
最初の B と警笛の距離は
tB =
√
√
x2 + H 2 であるから，
x2 + H 2
V
VI
B が音を聞いていた時間 ∆tB は，
!√
"
X
H
X2 + H2
∆tB =
+
−
u
V
V
3
X
であるので，
u
√
X
X2 + H2
H
∴ − ∆tB =
−
u
V
V
警笛が鳴っていた時間は
VII H = X, u = V /10 より，
√
(11 − 2)X
∆tB =
V
A が音を聞いていた時間 ∆tA は，
√
!
"
X
L
L
X
10X
11 − 2
∆tA =
+
−
=
=
∴
倍
u
V +u
V +u
u
V
10
4
斜めドップラー効果 ★★★★★ 83 東大
I
B に到達した瞬間に出した音が A に到達した時刻は
t=
L
c
B から１周期後に出した音が A に到達する時刻は
t! = T +
∆t =
L − vT cos θ
c
c − v cos θ
T
c
f ・∆T = f0・T ∴ f =
c
f0
c − v cos θ
II
題意より，
c
c
f0 = 3
f0
c−v
c+v
∴ v =
1
c = 1.7 × 102 [m/s]
2
観測する振動数が 23 f0 となるときの θ は
c
c
2
f0 =
f0 ×
c − v cos θ
c−v
3
∴ θ = 60°
観測する振動数が 12 f0 となるときの θ は
c
c
1
f0 =
f0 ×
c − v cos θ
c−v
2
∴ θ = 90°
時間差は
h
h
2h
√ + − √ = 3.0 ∴ H = 3c = 1.0 × 103 [m]
c
3v
3c
11
ドップラー効果の記述解答
(1)
t1 =
t2 =
l
2
V +w
l
2
V −w
≈
l
w
(1 − )
2V
V
≈
l
w
(1 + )
2V
V
∆t = t2 − t1 =
干渉条件式は
wl
V2
wl
= mT (m = 1, 2, ……)
V2
(2)
n1 =
l
2
V +w
f
≈
l
w
(1 − ), n2 =
2T V
V
l
2
V −w
f
∆n = n2 − n1 =
lw
TV 2
干渉条件式は
≈
l
w
(1 + )
2T V
V
lw
=m
TV 2
(3)
y1 = Asin
l
l
2π
2π
2
2
(t −
), y2 = Asin (t −
)
T
V +w
T
V −w
y1 + y2 = 2Asin
干渉条件式は
(4)
2π
l
π lw
(t −
)cos( ・ 2 )
T
2V
T V
π lw
・
= mπ
T V2
V1 = V + wcosθ, V2 = V − wcosθ
(5)
t1 =
l
2
V + wcosθ
干渉条件式は
∆t =
, t2 =
l
2
V − wcosθ
lwcosθ
= mT
V2
wmin は m = 1 として
wmin =
TV 2
lcosθ
(6) S1 からの O で観測される振動数 f1 は波源の振動数を f として，
f1 =
V + wcosθ − v
f
V + wcosθ
1
S2 からの O で観測される振動数 f2
f2 =
うなりの振動数は
V − wcosθ + v
f
V − wcosθ
∆f = f2 − f1 ≈
S2 にたどり着くまでの時間は
観測されるうなりの振動は
l
2
v
2v
2v 1
f= ・
V
V T
より
2v 1 l
l
・・ =
V T 2v
VT
(7) 波の到着時間差が 0 となると考えられるので，
l/2
l/2
=
− ∆t
V +w
V −w
∆t ≈
2
lw
V2

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