長柱の座屈

ー材料力学講義ー
第13回
平成26年7月18日（金）
概説：材料力学（Strength of Materials）とは？
機械・構造物は，使用期間中，種々の
外力（荷重）に対し，安全にその機能を
果たさねばならない．
・このため，その設計にあたっては，次の2点を十
分に考慮せねばならない．
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概説：材料力学（Strength of Materials）とは？
①強度（Strength）：
・荷重が作用するとき，破壊しない．
②剛性（Stiffness）：
・荷重の作用に対し，形や寸法の変化が小さい．
・このような問題を合理的に（なるべく簡単に，か
つある程度の精度で）解決する学問
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基本的荷重条件と評価パラメータ
①引張と圧縮（Tension/Compression）
強度：垂直応力
剛性：伸び／縮み
②曲げ（Bending）
強度：曲げ応力
剛性：たわみ
③ねじり（Torsion）
強度：せん断応力
剛性：ねじれ角
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①引張と圧縮（強度：垂直応力，剛性：伸び／縮み）
W
 ,
A
Wl

EA
②曲げ（強度：曲げ応力，剛性：たわみ）
d2y M

2
dx
EI Z
M

y,
IZ
③ねじり（強度：せん断応力，剛性：ねじれ角）
T
  r,
Ip
Tl

GI p
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基本的荷重条件と評価パラメータ
①引張と圧縮（Tension/Compression）
強度：垂直応力
剛性：伸び／縮み
②曲げ（Bending）
強度：曲げ応力
剛性：たわみ
③ねじり（Torsion）
強度：せん断応力
剛性：ねじれ角
安定なつり合い
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今日のテーマ：長柱の座屈
①まずは，安定・不安定についてイメージする．
W
W
ばねの力Fによる支点まわりの
モーメントMFは，
M F  Fl  kl 
2
k
l
θ
荷重Wによる支点まわりのモー
メントMWは，
M W  Wl
よって，MF=MWとなる条件は，
W  kl
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②長柱の座屈
W
下端からxの位置における曲げ
モーメントMxは，
W
δ
e
e
M x  W (  e  y)
よって，たわみの微分方程式は，
y
δ+e-y
l
d2y W

(  e  y )
2
dx
EI z
W
2
a
EI z
x
2
d y
2
2
 a y  a (  e)
2
dx
8
d2y
2
2

a
y

a
(  e) の一般解は，
2
dx
y  A sin ax  B cos ax    e
境界条件は， x=0 で y=dy/dx=0，および x=l で y=δより，
e
e(1  cos al )
A  0, B 
, 
cos al
cos al
W
δ
e
よって，たわみ曲線は，
e(1  cos ax)
y
cos al
y
x
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e(1  cos ax)
からわかるように， cos al  0 ，すなわち，
y
cos al
al 
W
(2n  1)
l
EI z
2
(n  0,1,2,)
のとき，e が 0 でなければ，たわみ y は無限大になる．
また，e＝0 のとき，荷重 W が上式を満たさないとき y=0 となり，
上式を満たすとき y は不定となる．すなわち，偏心 e がないとき，
柱は一般にたわみを生じないで圧縮力に対する縮みだけを生じ
てつり合うが，上式を満足する荷重が作用すれば y は不定とな
り，たわみを生じない変形のつり合いも可能であるが，任意のた
わみを生じてつり合うことも可能となる．
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このような不安定な変形を，長柱の座屈と呼ぶ．また，対応する
荷重を座屈荷重，その最小値を臨界荷重と呼ぶ．
W  (2n  1)
Wcr 
 EI z
2
2
4l
2
(n  0,1,2,)
 EI z
2
4l
2
部材に圧縮荷重が作用する際，その部材の圧縮降伏荷重に比
べ臨界荷重が小さい場合は，長柱は座屈によって破損する．
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Example
上端が自由，下端が固定支持された，
1辺がa=10mm，長さがLの正方形断
面の角棒に圧縮荷重Pが作用してい
る．
a
a
1.
この材料の圧縮降伏応力が，
σy =20kgf/mm2
であるとき，圧縮降伏荷重Wyを求めよ．
2.
この材料のヤング率が，
E=21,000kgf/mm2
であるとき，全長Lが以下の場合に
ついてそれぞれの臨界荷重を求めよ．
P
L
a) L=50mm
b) L=150mm
c) L=1,000mm
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