浅野S16 - Info Shako

統計II S16
回帰分析推定量の分布
仮説検定
2 の推定
iの推定値ei
分散の推定量
E(S2) = 
S2 = iei2/(n2)
標本分散に類似
となる。
S2：不偏分散
S：回帰の標準誤差
回帰係数(b)の分散の推定値：
2
S
Sb2 =

2
i ( X i  X )
S2
2
x
i i
Sb ：回帰係数の標準誤差(SE: standard error) Sb, SE(b)
２変数正規回帰モデルにおける b の分布
正規性(仮定5)の下でのbの分布。
理由：正規変数の和だから
b ~ N(,b2)
x

b
x
i i
i
i
2
i
i~N(0,2), xii = N(0, xi22),
ixii はn個の正規分布に従う変数の和
基準化
(b)/b ~ N(0,1)
分散の推定値(S2)
(b)/Sb は自由度n-2のt分布に従う。
信頼区間
Pr(| (b)/Sb|<t/2) = 1、
区間b  t/2 Sbが真のを含む確率は
の信頼区間
表所得－
消費
所得
消費
90
消費
1
10
9
2
20
18
3
30
23
4
40
33
5
50
26
6
60
36
7
70
60
8
80
50
9
90
50
10
100
80
80
70
y = 0.66x + 2.2
R² = 0.8613
60
50
40
30
20
10
0
0
20
40
60
80
100
120
概要
回帰統計
重相関 R
0.928053
重決定 R2
0.86128
補正 R2
0.843942
標準誤差
8.50588
観測数
10
分散分析表
自由度
回帰
残差
合計
切片
所得
1
8
9
変動
3593.7
578.8
4172.5
係数標準誤差
2.2
5.81
0.66
0.09
分散測された分散
3593.7 49.67104
72.35
t
0.38
7.05
P-値
0.71
0.00
係数についての検定
傾きの値に興味
消費関数：＝所得単位増に対し消費は（平均して）どれだけ増加するか
仮説検定：が特定の値(0)であるという仮説に対し
回帰結果がそれと整合的かを統計的に判断。
例１．
過去の経験では限界消費性向は0.75だったが
推定したところb=0.66となった。これは
限界消費性向が変化したことを意味するのか？
「0.66」は「0.75」からかなり離れているか?
H0: =0.75
H1:   075 （両側検定）
<0.75
（片側検定）
(b-)/Sb ~自由度n2のt分布
t0 = (b)/Sb
推定値と仮説の差を標準誤差の単位で測った距離
棄却域と受容域
b ~N(, b2)
H0が真ならbがから大きく離れる確率は低いはず。
bがから一定以上離れるならH0を棄却
一定以上の範囲？
t0の分布に注目。t分布の限界値をtc
H0の下では
Pr(|t0|>t) = 
Pr(|(b)/Sb|>t) = 
Pr(|b|>tSb) = 
仮説検定
受容域と棄却域



棄却域
受容域
-tSb
棄却域
+tSb
t 検定
t0 の値に注目
基準
|t0|がt以上ならH0を有意水準で棄却
|t0|がt以上ならH0を有意水準で受容（採択）
ｔ0 による検定
t検定量の値
t0 = (b)/Sb = (0.660.75)/0.0935 = 0.9625,
|t0|<t0.025 = 2.306
帰無仮説を有意度5％で棄却しない。
注意： Z 検定
t 分布は自由度が大なら N(0,1)に近くなる。
自由度が無限大なら N(0,1)に一致。
b が既知ないしは自由度が大きい場合、
Z N(0,1)の限界値を使って検定が行える。
受容・採択＝棄却しない
H0受容⇒H0を積極的に支持する証拠が見つかった？
（そうとは限らない）
H0を棄却⇒H0はかなり疑わしい。
（これは正しい）
「受容」の場合、それ以外の全ての範囲を含む。
・真のがと異なっても、に近いなら
t0が受容域に入る可能性は高い
・推定値の精度が低い（標準誤差が大）なら、
どんなH0も棄却されにくくなる。
受容の時には「受容する」より
「棄却しない（できない）」という表現が適切。

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