数理統計学 第２１回 西 山 前回までの要点 統計的な仮説検定の方法 検定とは二択問題です．つまり二つの命題のど ちらかをデータをみて選びます． 正しいと仮定する命題を帰無仮説と呼び、もう一 方の命題を対立仮説と呼びます． 結論は、標準値（Z値）、厳密にはT値が限界値 を超えるかどうかで、下します． 検定は二択問題です 帰無仮説（仮置き） 前回授業は ここまで 対立仮説（異常状態） ブレーキは正常 ｖｓ ブレーキは異常 ブレーキは正常 ｖｓ ブレーキは甘い ブレーキは正常 ｖｓ ブレーキがききすぎる • 血圧は正常 ｖｓ 高血圧！ • 運転技術は十分 ｖｓ まだ未熟 • 得点は合格 ｖｓ 得点は不合格 片側検定 【例題】片側検定が必要な場合（左側） あるメーカーの新型電池は耐久時間を1000時間と表示 している。最近、「すぐ切れる」というクレームが相次い で寄せられた。そのため、20個のサンプルをとって、計 測してみると、以下の結果になった。 X 980 ˆ 720 2 電池の生産に異常はないと言えるか？ 検定を二択にする H0 : 1000 vs H1 : 1000 帰無仮説 （正常） 仮置き！ 対立仮説 （短い） 【考え方】寿命が長すぎても問題なし 帰無仮説（＝仮置き値）： μ＝1000時間 有意水準 ５％ 異常 5% 限界値 正常 95% 1000 【解答】 限界値はT分布で決めると厳密！ 980 1000 T0 3.3 720 20 このサンプルは偶然ではない 異常発生！ 【例題】 下に7個のデータが与えられている。このデータは平 均が０である集団（＝母集団）から得られたものだろ うか．それとも０とは異なる平均をもつ集団から得ら れたデータだろうか．但し、元の母集団の分散σ2は １であるとしなさい． -1.11, 2.09, 0.11, 1.21, 1.91, 0.02, -0.24 ヒント： 標本平均＝0.57 不偏分散＝1.418 教科書167ページの数値例 無論、区間推定でもOK 0.95 P 1.96 Z 1.96 X P 1.96 1.96 2 /n P 0.57 1.96 P X 1.96 1 / 7 X 1.96 1 / 7 1 / 7 0.57 1.96 1 / 7 P 0.17 1.31 平均ゼロの集団から出てきた可能性があります 【解答】 二択を確かめよ！ H 0 : 0 vs H1 : 0 1 7 標準誤差 Z0 棄却域 採択域 仮置き 0 X 0 棄却域 2 /n 0.57 0 1/ 7 1.5 練習問題【１】 サイコロを100回振って出た目の平均を計算すると、 ４．０だった。「このサイコロはおかしいね」と判定して いいか？検定の手順に沿って結論を下しなさい。 練習問題【１】の手順 帰無仮説・対立仮説として二択にする サンプル平均の分布図で 棄却域を両側・右側・左側に作るか決める 上に合わせて標準値・T値の 限界値を決める サンプル平均を標準化して 結論を下す 【解答】 H0 : 3.5 vs H1 : 3.5 4 3 .5 Z0 2 .9 0.17 棄却域 棄却域 授業は ここまで -1.96 1.96 練習問題【２】 下に５個のデータが与えられている。このデータは 平均が０である集団（＝母集団）から得られたものだ ろうか．それとも０より大きい平均をもつ集団から得 られたデータだろうか．但し、母集団の分散σ2は１で ある． 1.11, 0.27, 0.81, 0.08, 0.63 ヒント： 標本平均＝0.58 不偏分散＝0.171 右側に棄却域をつくって片側検定！ H 0 : 0 vs H1 : 0 標準値を出すところまでは同じ Z0 基本 X 0 /n 2 0.58 0 1/ 5 1.30 両側で±２ 片側で＋1.65、あるいは－1.65 シグマハットを使うならT分布で「色をつける」 教科書171頁の例題44 練習問題【３】 正しいと思われるサイコロを20回振ったところ、1 の目が6回出た。どの目も満遍なくでるはずだから、 普通なら3回ないし4回のはずである。これは偶然 の範囲か、それとも1の目が出やすくなっているの かを検定しなさい。有意水準は5%である。 教科書171ページ例題45 【着目点】 ゼロイチ母集団とゼロイチ・サンプルです １の目が出た ⇒ １ 他の目 ⇒ ０ サンプル平均 1 0 0 1 6 X 20 20 二択問題にしておく 1 H0 : p 6 vs 1 H1 : p 6 仮置き！ 母集団の分布の様子を図に描いてください （ゼロイチ母集団） 平均μと標準偏差σは？ 標準誤差を評価してください 2 1 1 5 n 20 6 6 仮置き 1 6 1が出すぎ
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