３次元での回転表示について最初に • 計測データは３次元のベクトルである。 • ベクトルとは – 物理的な意味は方向と大きさ。 – 記述上は複数の要素(スカラ)を並べたもの。 – 例）（１，２，３） ※３次元の場合。 • スカラとは – 数字としての大きさを指す。ベクトルのスカラ倍・方向が同じで大きさがスカラ倍 k倍 a k＊aで表される。ベクトルの和 a+bを表現する赤い直線はaとｂを足したものと等しい b a a+b ベクトルの内積（１）ベクトルの長さについて aの長さは|a|で表すことができる。 b a＝（a,b,c）とすると θ（なす角） |a|＝ a^2+b^2+ｃ^2 ※直角三角形の定義から求められる。 a a・b＝|a|・|b|・cosθ Σaｊ・bj とも表すことができる。 ※aとbの各要素をかけた総和・・・理由は次頁ベクトルの内積（２）余弦定理より、ｃ^2 ＝a^2+b^2－２・a・b・cosθ ベクトル化し、c = a－bとすると、 b c |c|^2＝|a| ^2 ＋|b| ^2 －2・|a|・|b|・cosθ 左辺＝(ax-bx)^2+(ay-by)^2+(az-bz)^2 θ 右辺＝(ax^2+ay^2+az^2)+(bx^2+by^2+bz^2)－2・|a|・|b| ・cosθ ∴ |a|・|b| ・cosθ＝ax・bx+ay・by+az・bz a ∴ 一般的に、内積 a・b＝|a|・|b|・cosθ＝ Σaｊ・bj 回転表示について（１） Z z ←モニタ（動座標） y モニタ内の x=画面の横方向 y=画面の縦方向 x z=画面の垂直方向 Y 静止座標＝点群 X ここで静止座標と動座標の相互変換が必要になる。回転表示について（２） • 変換の方法 – ロール・ピッチ・ヨー角を用いた３次元座標変換法 – オイラー角を用いた３次元座標変換法 • 一般的にはロール・ピッチ・ヨー角が使われているのでこれを使用する。回転表示について（３） • ロール・ピッチ・ヨー角とはヨー角 z ピッチ角 y 船に例えると xは船の進む方向 yはxに垂直な方向 zは真上方向ロール角 x 船変換式（X,Y,Z）＝（ｘ、ｙ、ｚ）・［M］ x y z ＝［M］・ X Y Z 動座標から静止座標への変換静止座標から動座標への変換［M］は行列で回転行列と呼ばれている動座標から静止座標への変換 z P＝x ・ i ＋ y ・ j ＋ z ・ k P P（Ｘ、Ｙ、Ｚ）＝（ｘ，ｙ，ｚ）・ y x i j k 回転行列［Ｍ］静止座標から動座標への変換 i P（Ｘ、Ｙ、Ｚ）＝（ｘ，ｙ，ｚ）・を転置すると j k X Y Z ＝ k j k ・ y z i j i x ・ X Y Z 左から回転行列を乗算すると i ＝ j k x ・ i j k ・ y z x ＝ y z x ∴ y z ＝［M］・ X Y Z 回転行列について回転行列はα、β、γで表すと［Ｍ］＝Ｃγ Sγ ０ Cβ ０ –Sβ １ -Sγ Cγ ０００Ｃα Ｓα ００１１ Sβ ００ Cβ Ｓα＝Ｓｉｎα Ｃα＝Cosα 理由を以下の３ページに示します０００ –Ｓα Ｃα となるＸ軸で回転 Z Z ’ Y’ α α Y X i ’ j ’ k ’ １ = ００ i ０Ｃα Ｓα j ０ –Ｓα Ｃα k Ｙ軸で回転 Z ’ Z’’ β Y’ β X’ X’’ i’’ j’’ k’’ Cβ ０ –Sβ = ０１ Sβ ００ Cβ i ’ j ’ k ’ Ｚ軸で回転 Z’’ Y’’’ γ Y’’ γ X’’ X’’’ i’’’ j’’’ k’’’ = Ｃγ Sγ ０ i’’ -Sγ Cγ ０ j’’ ００１ k’’