回転体の表面積も求めよう！

●　回転体の表面積も求めよう！
では次，曲線を x 軸や y 軸のまわりに回転してできる回転体の曲面の表
面積を求める公式についても解説しておこう。
回転体の表面積の公式
( Ⅰ) 区間 [ a ， b ] で連続，区間 ( a ， b )
で微分可能な曲線 y ＝ f ( x ) と x 軸
y ＝ f (x)
とで挟まれる図形を x 軸のまわり
に回転してできる回転体の曲面の
表面積 S は，次式で計算できる。
S ＝ 2π
x
b
a
2
＋
とで挟まれる図形を y 軸のまわり
に回転してできる回転体の曲面の
表面積 S は，次式で計算できる。
y
x ＝ g(y)
d
c
∫ x √ 1 ( dd yx ) d x
d
c
2
＋
(Ⅰ) について，微小区間 [ x , x ＋ Δ x ] における
微小な曲面の表面積 Δ S は，図 1 2 より
Δ S ≒ 2π y ･ Δ L　……… ①　と表せる。
ここで，微小な曲線の長さ ΔL は
図 12 回転体の表面積
Δ S ≒ 2π y ･ Δ L
ΔS
x
Δy Δ
(
√ Δ x ) x ……… ②より
＝ 1＋
ΔL
y ＝ f (x)
Δ L ≒ √ ( Δ x )2 ＋ ( Δ y ) 2
y
2
Δx
② を ① に代入して
√ ( ) Δx
y
ΔS ≒ π
2 y 1 (
よって，
Δx
√ ΔΔ x )
y
Δ S ≒ 2π y 1 ＋ Δ
Δx
2
＋
148
x
x＋Δx b
∫ y √ 1 ( ddxy ) d x
( Ⅱ) 区間 [ c ， d ] で連続，区間 ( c ， d )
で微分可能な曲線 x ＝ g ( y ) と y 軸
S ＝ 2π
a
2
Δy
ΔL
Δx
● 積分法とその応用
ここで， Δ x → 0 のとき，
√ ( ) となるので，
dy
dS ＝ π
2 y 1＋
dx
dx
2
この両辺を x で，区間 [a，b] で積分することにより，この x 軸のま
わりの回転体の曲面の表面積 S が，次式で求められるんだね。
∫ y √ 1 ( ddxy ) d x
＝ 2π ∫ y √ 1 y´ d x
＝ 2π ∫ y √ 1 { f ´( x )} d x
S ＝ 2π
b
2
＋
a
b
＋
a
b
∫
＝ 2π ∫
S ＝ 2π
2
a
b
√ y 2 ･ ( 1 ＋ y´ 2 )
dx
b
a
√ y 2 ＋ ( y y´ ) 2 d x
として，
y 2 ＋ ( y y´ ) 2 を求めることが多い。
2
＋
a
実際の計算では，
(Ⅱ) についても同様に，微小区間 [ y , y ＋ Δ y ]
図 13 回転体の表面積
Δ S ≒ 2π x ･ Δ L
における微小な曲面の表面積 Δ S は，
図 1 3 より，近似的に
Δ S ≒ 2π x ･ Δ L ……… ③　と表せる。
y
Δy
ΔS
ここで，微小な曲線の長さ ΔL は，
y
ΔL ≒ √(Δx)2 ＋ (Δy)2
ΔL
x ＝ g(y)
x
√ ( ΔΔy ) Δ y ………④より， ④を③ に代入して
x
S
x
Δ S ≒ 2 π x ･ 1 (
√ ΔΔ y ) Δ y よって， ΔΔ y ≒ 2π x √ 1 ( ΔΔ y )
2
＝ 1＋
2
＋
2
＋
√ ( ) となるので，
dS ＝ π x
dx
2
1＋
dy
dy
ここで， Δ y → 0 のとき,
2
この両辺を y で , 区間 [ c ， d ] で積分することにより，この y 軸のま
わりの回転体の曲面の表面積 S は，次の式で計算できるんだね。
納得いった
?
∫ x √ 1 ( dd yx ) d y
＝ 2π ∫ x √ 1 x´ d y
＝ 2π ∫ x √ 1 { g´ ( y )} d y
S ＝ 2π
d
c
d
c
d
c
2
＋
＋
＋
2
2
実際の計算では，
∫
＝ 2π ∫
S ＝ 2π
c
c
d
√ x 2 ･ ( 1 ＋ x´ 2 )
d
dy
√ x 2 ＋ ( x x´ ) 2 d y
として，
x 2 ＋( x x´ ) 2 を求めることが多い。
149
それでは，具体的に例題で，回転体の表面積を求めてみよう。
y
x 2＋ y 2 ＝
1 ……… ①　を
2
( − √ 2 ≦ x ≦ √ 2 )
だ円
1
x 軸のまわりに回転してできる
表面積 S
公式より
S ＝ 2π
∫
−
√2
√2
y √ 1 ＋ y´ 2 d x ＝ 2π
√2
∫
−
√2
√ y 2 (1 ＋ y ´ 2 ) ＝ √ y 2 ＋ (y y ´ )2
√y
2
＋ ( y y´ )
2
＋y ＝1
0
−√2
回転体の表面積 S を求めよう。
x2
2
d x ……… ② となる。
x
x ＋ 2 y y ´ ＝ 0 より y y ´ ＝ − ー ……… ③
2
2
③の両辺を 2 乗して， y をたすと，
x2
1− ( ① )より
2
−
( )
−
x
( ② )より
2
x
2
2
＝ 1−
x2 ＋ x2 ＝ − x2
1
2
4
4 ……… ④
④ を ② に代入すると，
S ＝ 2π
∫ √1
√2
−
√2
−
x2 dx ＝ π
4
4
∫ √1
√2
0
−
x2 dx
……… ⑤
4
偶関数
π
x ＝ θ とおくと， x ：
sin
0 → √ 2 のとき，θ ： 0 →
4
2
また， d x ＝ 2 cosθ dθ より，⑤は，
ここで，
S ＝ 4π
＝ 4π
∫
0
[θ
π
4
√ 1 − sin 2θ ･ 2 cosθ dθ ＝ 4π
cosθ
＋
1
sin2θ
2
]
π
4
0
＝ 4π
( 4π 12 )
＋
∫
0
π
4
( 1 ＋ cos2θ ) dθ
2 cos 2θ
＝ π (π ＋ 2 ) となって，
x 軸のまわりのだ円の回転体の表面積が求まるんだね。
150
√2
−1
ここで， ① の両辺を x で微分して，
2
y2 ＋ (yy´)2 ＝ 1− x ＋
2
2
x
● 積分法とその応用
では次，y＝x
2　(0 ≦ x ≦ √3)，すなわち
y
曲線 x ＝ √ y ……… ( a ) ( 0 ≦ y ≦ 3 ) を
3
y 軸のまわりに回転してできる回転体
x ＝ √y
の曲面の表面積 S を求めてみよう。
0
公式より
S ＝ 2π
∫
3
0
x √ 1 ＋ x ´ 2 d y ＝ 2π
(a) を y で微分して
∫
0
3
√3
x
√ x 2 ＋ ( x x ´ ) 2 d y ……… ( b ) となる。
1
1
x ´ ＝ 1 y − 2 ＝ ……… ( c ) よって
2
2√y
( )
2
x 2 ＋ ( x x ´ ) 2 ＝ y ＋ 1 ＝ y ＋ 1 ……… ( d ) となる。
2
4
1
1
y ((a )より) √ y ･
＝ ( ( a )( b ) より)
2√y
2
( d ) を ( b ) に代入すると
S ＝ 2π
∫ √y
3
0
＝
1 d y ＝ 2π
4
)]
4 π 13
( 41 ) }
3 {( 4 )
＝ 2π ･
＝
＋
2
3
[(
y＋ 1
4
3
2
−
3
2
∫ (y
3
0
＋
1
4
)
1
2
dy
3
0
3
2
4 π 1 (13 13 − 1 )
･ 3
√
3
42
23 ＝ 8
＝
π ( 1 3 √ 1 3 − 1 ) となって， y 軸のまわりの放物線の回転体の表面の面
6
積も求められるんだね。
これで，曲線の回転体の表面積を求める問題の解法にも慣れて頂けたと
思う。
151

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