電気回路学講義資料

電気回路学Ⅱ
コミュニケーションネットワークコース
5セメ
山田博仁
RL微分回路と積分回路
RL微分回路
電圧 e(t) が、時間幅 a, 高さ E0 の方形パルスで
あるときの、RL直列回路の応答を考える。電圧は、
vR
R
e(t)
e(t )  E0u1 (t )  E0u1 (t  a)
L
vL
と表されるから、
ラプラス変換は、表5.2(2)に変位定理を適用して、
E
￡e(t )  0 1  e  as  である。
s
(a)
このような入力に対して、出力としてコイル L の両端の電圧 vL(t) をとることにする。
回路方程式 e(t )  Ri (t )  L

di (t )
をラプラス変換すると、
dt

E0
1  e as  RI ( s)  LsI ( s)  i (0)
s
初期条件 i(0) = 0 と置いて、






E0 1  e  as
E0 1  e  as
E0 1  e  as
I ( s) 


R
sR  sL 

 1
sL s   sL s  
L

 
ただし、  
L
R
RL微分回路と積分回路
従って、ラプラス逆変換を求めると、



 as 


1
1 E0 1  e
1 E0
 ￡ 
i (t ) ￡ I ( s ) ￡ 
 sL s  1  
L


    






 as 
 1
E
1 e
1 
  0 ￡1  
1  e  as

L
 1
 s s  1 
s s   


   








E0  1  1  1  1  1  1  as  1  1  as  

￡ 
￡  e  ￡ 
e 
￡
1
1
L   s 
s


s  
s 


 
 
 
E
 0
R
t
t  a 






u
(
t
)

e
u
(
t
)

u
(
t

a
)

e
u
(
t

a
)
 1

1
1
1


E
 0
R
t



1  e

t  a 





u1 (t )  1  e  u1 (t  a )







となる。






RL微分回路と積分回路
従って、コイル L の両端の電圧 vL(t) は、
t
t  a 

di(t ) L  1 
1  
vL (t )  L
 E0  e u1 (t )  e
u1 (t  a)
dt
R 


t  a 

 t

 E0 e u1 (t )  e  u1 (t  a) となり、これを図示すると以下の波形となる。


この波形は、前回出てきたRC微分回路の vR(t) と同じ形を
しているため、τ << a の場合、微分回路になる。
この回路の伝達関数 HL(s) は、

VL ( s) sLI ( s) E0 1  e  as
H L ( s) 


E ( s)
E (s)
 1
s  
 



s
E0
1  e as 
1
s
s

従って、s → jω と置いて、


j   
VL ( j )
j

H L ( j ) 


e  2  ,   tan1 
2
E ( j ) j  1
1
 
2
  

 
RL微分回路と積分回路
従って、高域通過形回路であることが分かり、振幅特性 |VL/E| および位相角 (π/2 ‒ θ)
の特性の概略を下図に示す。
RL積分回路
一方、出力として抵抗 R の両端の電圧 vR(t) をとると、
t



vR (t )  Ri(t )  E0 1  e 


t  a 





u1 (t )  1  e  u1 (t  a )









となり、これを図示すると右のような波形となる。
上式は、RC積分回路の vC(t) と一致するから、 τ >> a の場合、積分回路になる。
RL微分回路と積分回路
伝達関数 HR(s) は、


VR ( s) RI ( s)
E0 1  e  as
H R ( s) 

R
E ( s)
E ( s)
 1
sL s  
 
従って、s → jω と置いて、
H R ( j ) 
VL ( j ) 1 1

E ( j )  j  1


1
1
   
 
2
e  j ,
2
(  tan1  )
となる。振幅特性 |VR/E| および
位相特性 θ を右図に示す。低
域通過形回路であることが分か
る。


R 1
1 1
E0
1  e as 

s
L s1  s1


二次系の伝達関数
二次系の伝達関数
RLC直列回路などでは、その伝達関数 H(s) が、
02
H ( s)  2
s  20 s  02
のような形をとることがある。即ち、伝達関数の分母が s に関する2次の多項式となり、
ζ, ω0 は共に実定数である。そのような系を総称して二次系と呼んでいる。ω0 は共振
角周波数(natural frequency)、 ζ は減衰率(damping factor)と呼ばれている。また、
分子の係数 ω02 は、H(0) = 1 となるよう規格化したものである。
二次系を単位ステップで励振したときの応答 v0(t) (ステップ応答)は、全ての初期条件
を 0 と仮定して、t > 0 について、



2
2
  1, v0 (t )  1  e
sinh   10t 
cosh   10t 
2

 1

  1, v0 (t )  1  e 0t 1  0t 
 0t
  1, v0 (t )  1  e
と得られる。
 0t



2
2
sin   10t 
cos   10t 
2

 1

二次系の伝達関数
v0(t) の時間変化
‒40dB/dec
|H(jω)| の振幅特性
RLC直並列回路
RLC直並列回路
R0
e(t)
L
C
R
図に示すようなRLC直並列回路を電圧
源 e(t) によって励振したときの、R の両
端に現れる電圧 v0(t) を求める。簡単の
v0(t) ために、最初から全ての初期条件を 0
として、電圧、電流はそれらのラプラス
変換で考える。
L[e(t)] = E(s), L[v0(t)] = V0(s), R, L, C を流れる電流のラプラス変換をそれぞれ IR(s),
IL(s), IC(s) として、
R0 ( I R  I L  I C )  V0 ( s)  E ( s)
V0 ( s)  RIR  sLI L 
1
IC
sC
の関係が成り立つから、 IR, IL, IC を消去すれば、伝達関数として、
V0 (s) L
02 s

E (s) R0 s 2  20 s  02
が求まる。
ただし、  
L R  R0
1
, 0 
C 2RR0
LC
RLC直並列回路
この、ω0 に対応する周期 T0 = 2π/ω0 を共振期間と呼ぶことがある。また、2ζ ω0 の値
から
2 
L R  R0
1 R  R0 1


C RR0
0C RR0
Q
はちょうど、回路の Q を与える。
e(t) が単位ステップ即ち E(s) = 1/s のときの応答 v0(t) を求める。
02
L
V0 (s) 
R0 s 2  20 s  02
となるから、
(a) 臨界減衰(ζ = 1 或いは 2R0 R /R0  R  L / C )の時、
02
02
L
L
V0 (s) 

R0 s 2  20 s  02 R0 s  0 2
従って、 v0 (t ) 
02 L
R0
te0t 
 1 
 at
表5.2の(5)より、￡1 

te

2
 s  a  
1
te0t , t  0
R0C
RLC直並列回路
(b) 過減衰(ζ > 1 或いは 2R0 R /R0  R  L / C )の時、
V0 ( s) 
02 L
1

02 L
1
R0 s   0 2  1   2 02


02 L
1


R0 s   0 2   2  1 02
R0 s  
1
R0 s 2  2 0 s  02
02 L



2
0

 1 at
1
表5.2の(32)より、￡1 
 e sin t
2
2


s

a



 
v0 (t ) 

02 L
1
R0 j  2  10
1
0CR0
1
 2 1
e
 0t
sin j   10t 
2

 j   10
2
従って、
02 L
1
R0
 2  10
e 0t sinh  2  10t , t  0

2
e 0t sinh  2  10t
RLC直並列回路
(c) 振動減衰(ζ < 1 或いは 2R0 R /R0  R  L / C )の時、
V0 ( s) 

02 L
1
R0 s 2  2 0 s  02
02 L
R0

02 L
1
R0 s   0 2  1   2 02
1
s   0 
2

 1   0
2


2

 1 at
1
表5.2の(32)より、￡1 
 e sin t
2
2


s

a



 
v0 (t ) 

02 L
1
R0
1   2 0

従って、
e 0t sin 1   2 0t
1
1
e 0t sin 1   2 0t , t  0
0CR0 1   2
となる。
RLC直並列回路
例題7.5.1
振動減衰の場合、ζ ω0t1 = 1 を満たす時刻、即ち t1 = 1/ζ ω0 では、v0(t1) の振幅
は、時刻 t = 0 の時の振幅の 1/e になる。
v0 (t ) 
1
1
e0t sin 1   2 0t , t  0
0CR0 1   2
振幅
t = 0 ~ t1 の間にv0(t) が振動する回数を k とすれば、 ζ << 1 ならば
と見なせるので、2πk ≈ ω0t1 =1/ζ である。
従って、先に示した
k  1 / 2  Q / 
2 
または
1
の関係を用いると、
Q
 k  Q の関係が得られる。
1  2  1

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