機械工学基礎 I 補充問題その 5 (微分・積分の応用，微分方程式解法の基礎) 解答例 5-1. 急ブレーキをかけた後の自動車の加速度を a[m/s2 ]，速度を v[m/s]，変位 (ブレーキをかけた直後にすべる距離) を x[m] とする．自動車の質量を m[kg]，重力加速度を g[m/s2 ] とすると，自動車に作用する重力 W = mg[N] なので，道路から自動車に作用する垂直抗力 N = mg[N] である．W と N は大きさが同じで向きが逆なので，運動方程式では相殺される．従って自動車に作用する外力は，空気抵抗を無視するとタイヤと道路の間の摩擦抵抗 R[N] のみと考えてよい．摩擦抵抗 R[N] は，タイヤと道路の間の摩擦係数 µ を用いて次式の通り表される． R = µmg (1) ma = −R = −µmg (2) 運動方程式は次の通り．運動方程式の両辺を質量 m で除し，時間で積分すると速度 v[m/s] が得られる． ∫ v= (−µg)dt = −µgt + C (3) C は積分定数である．ブレーキをかけた瞬間の時刻 t = 0[s] における速度 v = v0 [m/s] より，C = v0 を得る．従って， v = −µgt + v0 (4) である．速度 v[m/s] を時間で積分すると変位 x[m] が得られる． ∫ x= 1 (−µgt + v0 )dt = − µgt2 + v0 t + C 2 (5) C は積分定数である．t = 0[s] における変位 x = 0[m] より，C = 0 を得る．従って， 1 x = − µgt2 + v0 t 2 (6) (4) 式より，v = 0 となる時間 t = v0 /(µg) を (6) 式に代入し，x = 45[m]，v0 = 60[km/h] の条件の下で摩擦係数 µ について解く． 1 x = − µg 2 µ= ( v0 µg )2 + v0 v0 v2 = 0 µg 2µg (60 × 1000)2 /(60 × 60)2 v02 = = 0.315 2gx 2 × 9.8 × 45 (7) (8) v = 0 となる時間 t[s] は次の通り求められる． t= v0 v0 2gx 2 × 45 2x = = = 5.4 = µg g v02 v0 (60 × 1000)/(60 × 60) (9) − − 5-2. 質点の速度成分 vx ，vy より，質点の速度ベクトル → v は→ v = (vx , vy ) と表される．質点に作用してい → − − → → − → る力ベクトル F は運動方程式より， F = (−avy , avx ) である．− v と F の内積を求める． − → − → v · F = (vx , vy ) · (−avy , avx ) = vx · (−avy ) + vy · avx = 0 これより力ベクトルは速度ベクトルと垂直であることが示される． 1 (10) 5-3. 加速度 a で等加速度運動する物体の変位 x と時間 t の関係は，t = 0 のとき速度 v = 0 および x = 0 の 1 初期条件の下では，x = at2 である．従って，質点の加速度 a は次の通り表される． 2 a= 2x t2 (11) と求められる．アウトウッドの機械において，二つの質点の質量がそれぞれ m，M (m < M ) の場合，質点の加速度 a は重力加速度を g として a = g(M − m)/(M + m) である．これより，質点 24[kg] と質点 26[kg] を取り付け，質点が 1[m] 移動するのに 2.3[s] 要することが測定された場合には，重力加速度 g[m/s2 ] は次の通り求められる． g= M + m 2x 26 + 24 2×1 M +m a= = × = 9.45 2 M −m M −m t 26 − 24 (2.3)2 (12) 5-4. 問題文は次の通り．「図 B に示す通り，重量 W と 2W の物体が鉛直平面に糸と滑車でつるされている．左側の重量 W の物体に重量 Q を追加し，下向きの加速度 a = 0.1g を発生させる際の Q の大きさを求めよ．滑車のまさつと慣性は無視する．」左側の物体の加速度を a とする．糸は伸び縮みしないものとすれば，動滑車につるされている右側の物体の加速度は上向きで大きさは a/2 である．糸に作用する張力を T として，左側の物体に重量 Q を追加した際の，左側の物体の運動方程式は次の通り． (W + Q) a = (W + Q) − T g (13) また，右側の物体の運動方程式は次の通り． 2W a = 2T − 2W g 2 (14) 上記二つの運動方程式から張力 T を消去して，a = 0.1g を代入し，Q について解くと，Q = W/6 を得る． 2