経営統計とデータ分析応用中心極限定理・母平均の推定担当：岩村英之 2008年1月7日 1 推測統計のイメージ母集団母平均標本  標本平均 X 2  母分散母標準偏差標本分散  標本標準偏差 ˆ 2 ˆ 推測今回は，標本平均をヒントに母平均の値を推定する方法を学ぶ． 2 標本平均は確率変数（１）この100人が選ばれたときの平均＝171cm この100人を選ばれたときの平均＝173cm この100人を選ばれたときの平均＝167cm 母集団（高3男子全体）どの100人が選ばれるかによって，出てくる平均身長の値も様々な可能性を持つ標本平均は確率変数 3 標本平均は確率変数（２）標本平均が確率変数ならば，どの数値が出やすく，どの数値が出にくいか，つまり確率分布を持つ．確率密度このあたりの値は出やすいこのあたりの値は出にくい標本平均 4 標本平均の確率分布高３生の身長の母平均が168cmであるとすると… 確率密度確率密度 168 高３生の身長（＝選ばれた1人の身長）の確率分布 X 168 選ばれた100人の身長の平均（＝標本平均）の確率分布 X どちらも最も出やすいのは168（母平均）だが，標本平均のほうが168に近い値が出やすくなっている． 5 中心極限定理母集団平均分散  2 サイズｎの標本平均平均分散  2 n 近似的に正規分布 6 中心極限定理つづきサイズnの標本平均平均分散  2 n 近似的に正規分布  標本平均  n 平均 0 分散 1 近似的に正規分布要するに標準正規分布 7 今，高校３年生男子の身長の母分散が152である（＝母標準偏差は15cm）とわかっているとする．母平均を推測する目的で，100人の高３生男子を無作為に選んで身長を測定すると，平均は165cmであった．確率密度標本平均母平均（未知）標本平均165cmをヒントに，中心極限定理を利用して母平均の値を推測することができる． 8 母平均の区間推定の考え方（1）確率密度 95% 160 163 95% 165 166 予想 A   166 否定できない予想 B   171 否定できる予想 C   163 否定できない予想 D   160 否定できる 95% 171 95% X 母平均の予想として否定できない「区間」が残る母平均の推定区間母平均の区間推定の考え方（2） “ぎりぎり”の予想を見つける確率密度 B 165 A X この区間の予想ならば，165cmによって否定されることはない．母平均の推定区間 10 母平均の区間推定（1）標本平均の確率分布 95% N ( B ,152 100) N ( A ,152 100) B A 165 95% X X  の確率分布 15 / 100 N (0, 1) 95% 165  A 15 / 100  1.96 0 165  B 15 / 100  1.96 X  15 / 100 母平均の区間推定（2） 165  A  1.96 15 / 100 165  B  1.96 15 / 100 15  A  165 1.96  167.94 100 15  B  165 1.96  162.06 100 母平均の95パーセント信頼区間は162.06cmから167.94cmである． 12 母平均の区間推定（一般ケース）標本平均の確率分布 95% N ( B , 2 n) N ( A , 2 n) B A X0 95% X X  の確率分布 / n N (0, 1) 95% X0  A / n  1.96 0 X 0  B / n  1.96 X  / n 母平均の区間推定（2） X0  A  1.96 / n X 0  B  1.96 / n   A  X 0  1.96 n   B  X 0  1.96 n 母平均の95パーセント信頼区間は   X 0  1.96 である．から X 0  1.96 n n 14 定期試験に向けて１計算ミスをした場合でも部分点がもらえるように，途中のプロセスを書こう．注：自分が後で見て分かるように，しかし解答欄に収まるように．２中間試験の問題を解けるようにしておこう．３再試験になってしまったら，定期試験の問題を解けるようにしておこう． 15