統計的推定標本から算出された値に基づいて母集団における値（母数）を推測すること標本平均値 → 母平均標本比率 → 母比率統計的推定のための２つの方法 ①点推定母平均を１つの値で推定すること。例えば、標本平均を母平均の推定値とすること。標本平均値30 → 母平均は30である平均50、分散100の母集団からの50個の無作為標本に基づく標本平均値平均50、分散2の正規分布 45 50 55 推定値が母数と一致することはまれである推定値がどの程度正確なものかも分からない ② 区間推定母数がとりうる値の範囲（区間）を、その推測の確からしさ（確率）とともに示す。つまり、推測の精度 → とりうる値の範囲で示す推測の確実性 → その推測が成り立つ確率を示す標本平均値30 から、母平均は20～40の範囲（区間）にあると推定されるこの推測の確からしさ（正しい確率）は 0.95 である推測の精度が粗い（区間が広い）推測の確実性が低い推定結果の利用は、慎重に行う必要がある推定結果の利用に関するリスクを考慮できる → 一般に広く利用されている区間推定の基本的な考え方（母平均の推定） N (,  (1)最も現れやすい値はμとその近傍の値であり、 2 n (2)μから離れるに従って、それが生じる可能性は小さくなる ) ↓ しかし (3)μを中心として、極めて広い範囲の値をとる可能性があり、このままでは手掛かりが無い μ 区間推定を行うための大前提我々が手にした標本平均は、母平均を中心して、その前後±a の範囲の値、つまり μ－a ～μ＋a の値である。この前提が正しい確率は、標本平均がこの範囲にある確率、つまり水色の面積である大前提が正しい場合に、母平均に関してどのような推論が行えるか？・・その１観測された平均値が前提の範囲の最大値に相当する場合 x a x xa 大前提が正しい場合の母平均の最小値（μL）大前提が正しい場合に、母平均に関してどのような推論が行えるか？・・その２観測された平均値が前提の範囲の最小値に相当する場合 x a x xa 大前提が正しい場合の母平均の最大値（μU）大前提が正しい場合に、母平均に関してどのような推論が行えるか？・・結論 x x a 大前提が正しい場合の母平均の最小値（μL） L  x  a a 大前提が正しい場合の母平均の最大値（μU） U  x  a 大前提が正しい場合の母平均の範囲 x a    x a この推論が正しい確率は？ a x a 大前提が正しい確率我々が手にした標本平均が母平均を中心にしてその前後±a の範囲にある確率 → 水色の面積区間推定の考え方のまとめ x 標本平均存在範囲はが得られた時、母平均μの x a    x a この推論が正しい確率は、標本平均が母平均を中心にしてその前後±a の範囲にある確率である推論が正しい確率：信頼水準精度の高い（予測範囲の狭い）予測をしたい → 信頼水準が下がる（予測がはずれる可能性が高くなる）はずれる危険性の低い予測をしたい → 精度の低い予測で我慢する一般的に用いられる信頼水準は、９５％ → 20回に１回誤った結論を導く可能性がある又は９９％ → 100回に１回誤った結論を導く可能性がある母平均の区間推定ケース１・・・母分散σ２が既知の場合母集団（平均μ、分散σ２からのN個の無作為標本から平均値 xが得られている標本平均は平均μ、分散σ２／Ｎの正規分布に近似的に従う N (, 2 N 信頼水準１－αで区間推定 ) μ 95％信頼水準 α=0.05 99%信頼水準 α=0.01 観測された平均値が前提の範囲の最大値に相当する場合 x Pr( X  x )  a  2 X  N (, 2 N ) 確率α／２ z X Pr(Z  x / N x  ) 2 / N Z X  / N Z  N (0,1)  z ( ) 標準正規分布においてその上 2 側確率がα／２となる値  x   z( )     x  z( ) 2 2 N / N 例：95％の信頼区間 → α=0.05（５％） → Z(0.025)=1.9600   x  1.96  N 観測された平均値が前提の範囲の最小値に相当する場合 x Pr( X  x )  確率α／２ a z Pr(Z    z( ) 2  2 x / N x  ) 2 / N X  N (, Z 2 N ) X  / N Z  N (0,1) 標準正規分布においてその下側確率がα／２となる値  x    z( )     x  z( ) 2 2 N / N 例：95％の信頼区間 → α=0.05（５％） → Z(0.025)=1.9600   x  1.96  N まとめ母平均の区間推定ケース１・・・母分散σ２が既知の場合  z ( ) 標準正規分布においてその上 2 側確率がα／２となる値信頼区間の下限値 x / N  x   z( )     x  z( ) 2 2 N / N x / N 信頼区間の下限値  x    z( )     x  z( ) 2 2 N / N      z( ) 2  x  z( )    x  z( ) 2 N 2 N 例：母分散が100の母集団からの100個の標本に基づく標本平  z( ) 2 ケース１・・・母分散σ２が既知の場合母平均の区間推定母分散がσ２の母集団からのＮ個の標本に基づく標本平均が間（信頼水準１－α）    x の場合の母平均の信頼区  x  z( )    x  z( ) 2 N 2 N 例：母分散が100の母集団からの100個の標本に基づく標本平均が50であった場合の母平均の信頼区間は？信頼水準95％（α=0.05) z(0.025)  1.9600 信頼水準99％（α=0.01) z(0.005)  2.5758 50  z(0.025) 10 10    50  z (0.025) 100 100 50  1.96    50  1.96  48.04    51.96 50  z(0.005) 10 10    50  z (0.005) 100 100 50  2.58    50  2.58  47.42    52.58