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2016/10/14
区間推定とは
統計学２
を満たす
をデータから求めるものである。
前回は母平均の区間推定を考えた。
母平均の区間推定
状
母平均の区間推定
況
（1母集団）
• 母平均の区間推定（母分散が既知の場合）
• 母平均の区間推定（母分散が未知の場合）
• ２つの母集団における母平均の差の区間推
定（等分散が仮定できる場合）
正規分布
母集団
無作為抽出
標本
母平均：μ
• ２つの母集団における母平均の差の区間推
定（等分散が仮定できない場合）
標本平均
を求める
推測する
分布
分布
標本平均の分布は正規分布になるが、推定に使用す
る場合は、規準化した
自由度4
0.3
を用いる。ただし、この量には
の両方が含まれて
いるため母平均の推定においてはをに置き直し
た
自由度6
※自由度を∞にすると、
標準正規分布になります。
0.2
自由度1
0.1
が使われる。この統計量は自由度
に従う（テキスト98ページ）。
の分布
自由度0.5
-4
-2
2
4
1
2016/10/14
母平均の区間推定
（母分散が未知の場合）
t分布の確率計算も
具体的にはできない
ので、数表を用いる。
母集団分布が正規分布
であるとし、こ
の母集団から個のデータ
が得
られたとする。
いま、
で自由度
の分布の上側
2.5%点を表すと
母平均の区間推定
母平均の区間推定
（母分散が未知の場合）
（母分散が未知の場合）
例アヤメを10本採取し、ガク片の幅を測定したところ
3.5, 3.0, 3.2, 3.1, 3.6, 3.9, 3.4, 3.4, 2.9, 3.1 (cm)
であった。このとき、ガク片の幅の母平均μの95%信頼
区間を求めよ。
よって母平均μの95%信頼区間は
データより
であり、自由度9＝（１０－１）の
t分布の上側2.5%点は2.262であ
るので、求める信頼区間は
となる。
となる。
状
標本平均・標本分散の計算
((データ)-標本平均)2
No.
データ
1
3.5
0.19
0.0361
2
3.0
-0.31
0.0961
3
3.2
-0.11
0.0121
4
3.1
-0.21
0.0441
5
3.6
0.29
0.0841
6
3.9
0.59
0.3481
7
3.4
0.09
0.0081
8
3.4
(データ)-標本平均
0.09
況
（2母集団）
0.0081
9
2.9
-0.41
0.1681
10
3.1
-0.21
0.0441
合計
33.1
0
0.849
平均
3.31
0
0.0849
母集団１
正規分布
μ1
無作為抽出
標本１
標本２
母集団２
μ2
なので
μ1‐μ2を推測
2
2016/10/14
２つの母平均の差の区間推定
２つの母平均の差の区間推定
（２つの母集団の母分散が等しい場合）
（２つの母集団の母分散が等しい場合）
２つの母集団分布が正規分布
この母集団からそれぞれ
個のデータ
が得られたとする。ただし、
このとき、母分散
であるとし、
とする。
の推定量を
よって母平均の差μ1ｰμ2の95%信頼区間は
とすると、
は自由度
のt分布に従う。
となる。
２つの母平均の差の区間推定
２つの母平均の差の区間推定
（２つの母集団の母分散が等しくない場合）
（２つの母集団の母分散が等しい場合）
このとき、母分散の推定量を
とすると、
は自由度
のt分布に近似的に従う。
例男性10人女性11人を選び、尿酸量を測定したところ
女性 5.0, 4.1, 4.2, 5.1, 3.5, 4.1, 4.8, 4.1, 4.8, 5.1, 5.1
男性 5.1, 5.8, 5.2, 6.0, 6.3, 4.8, 6.8, 5.9, 5.9, 6.1
であった。女性の平均尿酸量μ1と男性の平均尿酸量μ2の差の95%信頼区間を
求めよ。ただし、女性の尿酸量の母分散と男性の尿酸量の母分散は等しいもの
とする。
データより
は
自由度19（＝11+10‐2）の上側2.5%点は2.093
であるので、求める信頼区間は
とする。
となる。
標本平均・標本分散の計算
女性
データ
(データ)-標本平均
((データ)-標本平均)2
男性
データ
(データ)-標本平均
((データ)-標本平均)2
1
5.0
1.69
2.8561
1
5.1
1.79
3.2041
2
4.1
0.79
0.6241
2
5.8
2.49
6.2001
3
4.2
0.89
0.7921
3
5.2
1.89
3.5721
4
5.1
1.79
3.2041
4
6.0
2.69
7.2361
5
3.5
0.19
0.0361
5
6.3
2.99
6
4.1
0.79
0.6241
6
4.8
1.49
2.2201
7
4.8
1.49
2.2201
7
6.8
3.49
12.1801
8
4.1
0.79
0.6241
8
5.9
2.59
6.7081
8.9401
9
4.8
1.49
2.2201
9
5.9
2.59
6.7081
10
5.1
1.79
3.2041
10
6.1
2.79
7.7841
11
5.1
1.79
3.2041
合計
57.9
0
64.753
合計
49.9
0
19.6091
平均
5.79
0
6.4753
平均
4.54
0
1.782645455
なので
なので
3
2016/10/14
演
習
次のデータは健康な成人男性10人を無作為抽
出し、尿酸量(mg/dl)を計測したものである。
5.1, 5.8, 5.2, 6.0, 6.3,
4.8, 6.8, 5.9, 5.9, 6.1
健康な成人男性の平均尿酸量μの95%信頼区
間を求めよ。ただし、健康な成人男性の尿酸量
は正規分布に従っているとする。
4

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