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土木計画学
第４回（１０月２６日）
調査データの統計処理と分析２
担当：榊原弘之
本日の内容
観測データに基づいてパラメータを
推定する方法について説明する．
１．平均・分散の不偏推定量
２．点推定（最尤推定法）
３．区間推定
母集団：直接すべて調べることができない集団
母数：
母集団の特性値
（平均，分散など）
正確に
真の母数を
知ることはできない
標本：調査可能な，限られた数の集団
母集団の一部
統計的推計手法：標本から母数を推定するための手法
確率的推定の前提：大数の法則と中心極限定理
大数の法則(Law of Large Numbers)
前回説明
同一の確率分布（期待値μ，標準偏差σ）に従うn個の
確率変数X1,X2,…,Xnの標本平均は，nが大きくなれば，
限りなくμに近づく．
観測数を増やせば，より正確な期待値の推定が可能となる．
中心極限定理(Central Limit Theorem)
前回説明
同一の確率分布（期待値μ，標準偏差σ）に従うn個の
確率変数X1,X2,…,Xnの標本平均は，nが大きくなれば，
正規分布N(μ,σ2/n)に従う．
X1,X2,…,Xnがどのような確率分布に従う場合も成立する．
不偏推定量
期待値が母数に一致するような推定量
＝何度も標本抽出して当該の値を求めることを多数回
繰り返せば目的とする母数に近づいてゆくような推定量
xi

x
母平均の不偏推定値＝標本平均
n
母分散の不偏推定値
S
2
(x  x)


i
n 1
2
点推定
母数をある一つの値として推定する
最尤推定法（Maximum Likelihood Estimation）
観測値：x1,x2,…,xn
母数がθの場合に，観測値の組(x1,x2,…,xn)が
実現する確率
L( )  f ( x1; ) f ( x2 ; )... f ( xn ; ) 
母数θのもっともらしさ．．．尤度関数
n
 f ( xi ; )
L( )
i 1
L(1)  L( 2 )
 2 よりも  1 の方が標本が生起する確率が大きい
 1 の方が母数として現実的（もっともらしい）
「もっともらしさ」が最大となる母数θを求める（尤度関数の最大化）
最尤推定法
対数尤度関数
 n
 n


lnL( )   ln
f ( xi ; )  
ln f ( xi ; ) 


 i 1
 i 1

実際は対数尤度関数を最大化

区間推定
母数がある区間に入っているように推定する
正規母集団の場合
１．母平均の区間推定（母分散がわかっているとき）
２．母平均の区間推定（母分散がわからないとき）
３．母分散の区間推定（母平均がわかっているとき）
４．母分散の区間推定（母平均がわからないとき）
基本的な考え方
統計量の分布
（分布形は既知）

個別の標本の側から見ると．．．
2
標本
（実現値）
1
１．母平均の区間推定（母分散がわかっているとき）
必要な値
標本平均値
標本数 n
z
x
x
( / n )
母分散
2
は標準正規分布N（0,1）に従う．
1
信頼区間
  
  
z 
z 
2 n 2 n

2
分散
の
n
正規分布

2 X 2
  
  
X  z 
   X  z 
2 n
2 n
正規分布（ガウス分布）(normal distribution)
2

1
(x  ) 

exp  
確率密度関数 p X ( x) 
2
2
2 


期待値

N ( , )
2
 x2 
p X ( x) 
exp   
2
 2
1
期待値0，分散1の場合
標準正規分布 N (0,1)
正規分布の
分布関数の値
分散
x   を正規分布表に当てはめる

配布資料参照
95％信頼区間（α=0.05）
1.96

n
1.96
0.025

n
0.025
X
X  1.96

n
   X  1.96

n
２．母平均の区間推定（母分散がわからないとき）
必要な値
標本平均値
標本数 n
t
x
不偏分散
S2
X 
2
S /n
は自由度n-1のt分布に従う
  S
  S
x  t n 1  
   x  t n 1  
2 n
2 n
３．母分散の区間推定（母平均がわかっているとき）
必要な値
母平均
2 


標本数
n
( X i  )2
i

(x  )
i
 n ( / 2)
2
は自由度nのカイ2乗分布に従う
2
2

2
(x  )


2
i
 n (1   / 2)
2
４．母分散の区間推定（母平均がわからないとき）
必要な値
標本平均値
2 

標本数
x
( X i  x)2
i

は自由度n-1のカイ2乗分布に従う
2
(x  x)
2
i
 n1 ( / 2)
2
n
 
2
(x  x)
2
i
 n 1 (1   / 2)
2
二項母集団の場合（P86，P89例題５．１の２）
母比率の推定
z
P p
p(1  p) / n
 
 z  
2
は標準正規分布N（0,1）に従う．
 
 z 
p(1  p) / n
2
P p
 
 
p  z   p(1  p) / n  P  p  z   p(1  p) / n
2
2

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