第2章確率と確率分布

第3章統計的推定
統計学 2010年度
Ⅰ 標本分布
a) 母集団と標本
1) 標本調査の利点
2) 標本調査における誤差
b) 標本平均の標本分布
c) 標本分散の標本分布
Ⅱ 点推定
a) 点推定
b) 統計量の特性
1)
2)
不偏性
その他の統計量特性
Ⅲ 区間推定
a) 母平均の区間推定
1)
2)
3)
4)
中心極限定理
信頼区間
母分散が既知の場合の区間推定
母分散が未知の場合の区間推定
b) 母比率の区間推定
1)
2)
標本比率の標本分布
母比率の区間推定
c) 標本数の決定
1)
2)
母平均の区間推定における標本数の決定
母比率の区間推定における標本数の決定
Ⅰ 標本分布
a) 母集団と標本
母集団（個体数N）
標本（個体数n）
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
• ある集団についての調査をおこなうとき、調査対象となる集
団（母集団）からその一部を標本として選び、調査する方法
がある。これを標本調査という。
• 標本調査の例として次のようなものが挙げられる。
 労働力調査（完全失業率はこの調査の結果求められ
る）
⇒ 全国の15歳以上(約1億1千万人)の母集団から、
約10万人を標本として選ぶ調査
 内閣支持率調査などの世論調査
⇒ 全国の有権者(20歳以上の日本国民)(約1億人)の
母集団から、約1000人(新聞社のおこなう内閣支持率
調査の場合)
その他、視聴率調査、街頭でのアンケート、製品の品質
管理のための抜き取り調査など、数多くの標本調査がお
こなわれている。
1) 標本調査の利点
標本調査をおこなうメリットとして、次のようなことが挙げられる。
• 費用・時間の削減
→ 調査票を配布回収する調査では、調査票の印刷費、集計にか
かる機械処理費用、人件費などと全部を集計しおえるまでの時
間がだいぶ削減できる。
• 得られる情報の増加、精度の向上
→ 調査には調査員が使われることが多いが、ベテランの調査員
は調査の内容をきちんと説明できるので、答えづらい内容を聞い
たり、正しい結果を導いたりすることができる。
• 全数調査が不可能な場合にも調査可能
→ ガラスの耐久性についての品質管理を調査するなどの場合、
全数調査をおこなうことは不可能である。
2) 標本調査における誤差
標本調査の結果と、真の状態との間にはズレがある。こ
のズレのことを誤差というが、標本調査における誤差に
は次の2つの種類のものが組み合わさったものである。
1. 非標本誤差－調査もれ、無回答、記入ミスなど
⇒ 全数調査でも起こりうる
統計理論によりコントロール不可能
2. 標本誤差－標本の偏りによるもの
⇒ 標本調査に固有のもの
統計理論によりコントロール可能
•
標本の偏りによる誤差がどの程度の範囲に収まるかを、
統計理論によって知ることができる。⇒確率の問題
＜鳩山内閣発足直後の支持率の例＞
母集団（有権者1億人）
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
標本1（朝日1054人）
71%
標本2（読売1087人）
75%
×
×
2009年9月18日付の朝刊各
紙に掲載された鳩山内閣支
持率を見ると、異なった結果
になっている。
同じ対象に同じ調査をおこ
なっても、標本によってその結
果が異なる。
これが、標本の偏りである。
×
×
×
×
×
×
標本3（毎日1014人）
77%
標本4（日経857人）
75%
標本5（共同1032人）
72%
b) 標本平均の標本分布
母集団（大きさ N）
標本（大きさ n）
×
×
×
標本平均 x
×
×
×
×
×
×
×
×
標本平均 x
×
×
標本平均 x
×
× ×
母平均 μ
•
•
標本調査をおこなう場合、通常は1つの標本についての特性値（標本平
均や標本平均など）がわかり、それから母集団の特性値についての推論
をおこなう。母集団全体の情報はわからない。
しかし母集団全体の情報が分かり、とりうるすべての標本について考え
ることができたなら、標本の特性値についての分布を考えることができる。
これを標本分布という。
• 500人受講している科目の採点に、25人だけ採点して全体
の平均点を推定しようとするとき、25人の組み合わせ全て
（その数は1.04×1042通りという天文学的数字になる！）か
ら標本平均が計算でき、その分布を考えることができる。
• 一般にN個の母集団からn個の標本を選ぶ組み合わせの数
はNCnとあらわすことができる。
N
Cn 
N!
n!( N  n)!
N  ( N  1)  1
n  (n  1)  1 ( N  n)  ( N  n  1)  1
N  ( N  1)   ( N  n  1)  ( N  n)  ( N  n  1) 1

n  (n  1)  1 ( N  n)  ( N  n  1)  1
N  ( N  1)   ( N  n  1)

 分母も分子も n個ずつ
n  (n  1)  1

＜簡単な例＞
中国地方5県の乗用車保有台数（2010年4月末現在、軽自動車
(単位: 台)
除く）は次のようになっている。
鳥取
184958
島根
216744
岡山
651448
広島
863016
山口
474582
出典：中国運輸局『管内保有車両数』
これを10万台単位で四捨五入し、各都道府県の頭文字をア
ルファベットで表すと
T
2
となる。
母平均、母分散は
S
2
O
7
H
9
Y
5
22795
5
5
(2  5) 2  (2  5) 2  (7  5) 2  (9  5) 2  (5  5) 2
2
 
5
9  9  4  16  0

 7.6
5

• この5県を母集団とし、その中から2県を選んで標本とする
と、選び方は5C2＝10通りとなる。それぞれの標本につい
て、標本平均を求め、その分布をあらわすと次のようにな
る。
x
2
4.5
5.5
3.5
4.5
5.5
3.5
8
6
7
標本平均の標本分布
2.5
2
度数
パターン
T,S
2,2
T,O
2,7
T,H
2,9
T,Y
2,5
S ,O
2,7
S ,H
2,9
S ,Y
2,5
O ,H
7,9
O ,Y
7,5
H ,Y
9,5
1.5
1
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8
標本平均
• 次に標本平均の平均と分散について考えよう。
標本平均の度数分布表から、次のように計算できる。
x
fi(度数)
2
3.5
4.5
5.5
6
7
8
計
E( x ) 
1
2
2
2
1
1
1
10
f i x i2
f i xi
2
7
9
11
6
7
8
50
4
24.5
40.5
60.5
36
49
64
278.5
f i xi 50

5
f i
10
f i xi2
278.5 2
V (x) 
 ( E ( x ))2 
 5  2.85
f i
10
※ 度数分布表からの平均の計算は、（度数×階級値）の総和を度数
の合計で割れば良い
なお、この分散の式は計算式であり、次のようにして求
めたものである。
f i ( xi  E ( x ))2
V (x) 
f i
f i xi2  2 E ( x )f i xi  n( E ( x ))2

f i
f i xi2  2nE( x )  n( E ( x ))2

f i
f i xi2

 ( E ( x ))2
f i
※ 分散については、｛度数×（階級値－平均）2｝の総和を度数の
合計で割ったものとなる
• 標本平均の平均、分散と、母平均、母分散の関係として
E( x)  
V (x)   2
が成り立つ。分散に関しては
N n 2
V (x ) 
N 1 n
である。この例では、
V (x) 
5  2 7.6 3 7.6

 
 2.85
5 1 2
4 2
※全国規模の統計調査などを考えた場合、母集団の大きさNは非常に
2
大きいので、N  n は1に近くなり、V ( x )   とみなせる。
N 1
n
視聴率調査の場合、関東地区1580万世帯から600世帯を選ぶので
N  n 15800000  600

 0.999962 ≒1
N 1
15800000  1
c) 標本分散の標本分布
• 次に10通りの標本について、標本分散を求め、その分布
をあらわすと次のようになる。
s2
2.5
2
1.5
1
0.5
12
11.3
10.5
9.75
9
8.25
7.5
6.75
6
5.25
4.5
3.75
3
2.25
1.5
0
0.75
0
6.25
12.25
2.25
6.25
12.25
2.25
1
1
4
標本分散の標本分布
0
パターン
T,S
2,2
T,O
2,7
T,H
2,9
T,Y
2,5
S ,O
2,7
S ,H
2,9
S ,Y
2,5
O ,H
7,9
O ,Y
7,5
H ,Y
9,5
• 標本分散の平均について考えると、
標本平均の度数分布表から、次のように計算できる。
2
s
2
fi
0
1
2.25
4
6.25
12.25
fis
1
2
2
1
2
2
計
0
2
4.5
4
12.5
24.5
47.5
f i si2 47.5
E(s ) 

 4.75
f i
10
2
となる。標本分散の平均と母分散の関係は次のようになっ
ている。
E( s 2 ) 
N n 1 2

N 1 n
Ⅱ 点推定
a) 点推定
母集団（個体数 N）
標本（個体数 n）
×　×
×
×
×
×　×
×　×
×　×　×
母平均μ
母分散σ2
母数θ
推論
標本平均x
標本分散s2
標本統計量ｔ
標本から計算された1つ
の数値によって、母集団
の数値を推定することを
点推定という。
たとえば、標本平均を母
平均の推定値と考えるこ
とや、標本メディアンを母
集団のメディアンの推定
値と考えることである。
ただし、一般に t≠θであ
る。
b) 統計量の特性
1) 不偏性
• 点推定をおこなう場合、推定量の持つ望ましい特性をいく
つか考えてみよう。
• まず、E(t)=θとなることである。
• このような性質を不偏性といい、「tはθの不偏推定量であ
る」という。
（例１）標本平均 x は E(x )   となるので、母平均μの不
偏推定量である。
（例２）標本メディアンmeは、母集団メディアンMeの不偏推
定量とはならない。
（例3）標本分散s2は、 E(s 2 )   2 となり母分散σ2の不偏推定
量とはならない。
N
n 1 2

n
N
1
N 1
しかし、E( s 2 )  N  1
分大きいとき、
であった。母集団の個体数が十
とみなせるので、
n 1 2  1  2
2
2
E(s ) 
  1     
n
n
 n
2
と変形できる。
偏り
• 一般にE(t)=θ+偏りと表すことができ、「偏り=0」となる推定
量のことを不偏推定量という。
ところで、母分散の不偏推定量は存在しないのであろうか？
n  1 2 の両辺に n をかけると
E( s 2 ) 

n 1
n 2
E(
s )  2
n 1
n
となって、不偏推定量となる。
標本分散s2は
n
( x1  x ) 2  ( x2  x ) 2    ( xn  x ) 2
s 

n
であったので、これに n をかけると、
n 1
2
2
(
x

x
)
 i
i 1
n
n
sˆ 2 
( x1  x )  ( x2  x )    ( xn  x )

n 1
2
2
2
 (x  x)
i 1
2
i
n 1
となる。これを標本不偏分散という。
※ 統計学の書籍によっては、最初の分散の定義から、n-1で割ったも
のを用いているものもある。
2) その他の統計量特性
• 一致性－標本数を大きくしたときに、t がθに近づく。(母
数θから離れた標本統計量tが出現する可能性は低くなる)
• 効率性－不偏推定量がt1, t2 の2つあったとする。この
とき、分散の小さい推定量の方が母数θを推定するのによ
り効率的(母数θの近くの値を取る可能性が高い)である。
t1
t2
t2の方が効率的
⇒ 不偏性、効率性、一致性は望ましい推定量の基準であり、
このすべてを持ち合わせた推定量は非常に望ましい。
例：正規母集団の母平均の推定における標本平均はこれらの基準をす
べて満たしている。
また、推定量の性質としては次のようなものも考えられる。
• 十分性－ tは標本に含まれるすべての情報を含んでい
る。
⇒ 刈り込み平均（上位と下位の一部を除いて平均を求めたもの。体操
競技の採点などで、最高点と最低点を除いた平均が得点となるが、こ
れは刈り込み平均の1種である）などは、標本のすべての情報を含ん
でいないので、十分性を満たさない。
ただし、刈り込み平均の方が算術平均より母平均に近い値を取る可
能性はある。
Ⅲ 区間推定
• 点推定で母数θをピタリと推定することは難しい。そのため、標本統計量t
の近くの区間を設定し、その区間内に母数θが含まれることを推定する。
これを区間推定という。
母集団（個体数N）
×
×
×
×
×
×
標本（個体数n）
×
×
×
×
母平均μ
標本平均x
区間推定
• たとえば、日本全国全世帯の家計の平均年収を知りたいとき、1万世帯
を標本として調査し、500万円という標本平均を得たとする。この500万円
±10万円という区間をとればよいのか、±30万円という区間を取ればよ
いのかを考えていく。（区間が広がれば母平均が含まれる可能性は高く
なるが、実用性に劣る）
母集団（大きさ N）
標本（大きさ n）
×
×
×
標本平均 x
×
×
×
×
×
×
×
×
標本平均 x
×
×
標本平均 x
×
× ×
•
標本調査をおこなう場合、
通常は1つの標本について
の標本平均がわかるだけで
あるが、とりうるすべての標
本について標本平均を知る
ことができたなら、その分布
を考えることができる。これ
を標本分布という。
母平均 μ
a) 母平均の区間推定
1）中心極限定理
•
x の標本分布について、
E(x )  
N n 2
V( x ) 
N 1 n
が成り立っていた。
さらに、母集団の個体数（N）が十分大きいとき、
V( x ) 
が成り立つ
2
n
次に、標本平均 x
の分布がどのような形になるのか考えてみよう。
ⅰ）母集団の分布が正規分布の場合
母集団が平均μ、分散σ2の正規分布にしたがっているとする。
標本平均 x は
n
x  x    xn
x 1 2

n
x
i 1
i
n
であり、正規分布にしたがう変数の和(をnという定数で割ったもの)と
なっている。
したがって、正規分布の再生性†より、 x は正規分布にしたがう。
† 確率変数XとYがそれぞれN(μx,σ2x), N(μy,σ2y) にしたがうとき、その１次結
合α X+βY はN(αμx＋βμy,α2σ2x＋β2σ2y ）にしたがう。これを正規分布の再生性と
いう。
ⅱ）母集団の分布が正規分布ではない場合
母集団の分布が正規分布でない場合でも、標本の個体数 n が大きいと
き、次のような定理によって標本平均 x の分布は正規分布となる。
＜中心極限定理＞
算術平均μ, 分散σ2をもつ母集団からとられた大きさ n の標
本の平均の分布は、母集団の分布がどのようなもので
x
あっても、 n が大きくなるとき、正規分布 N(μ, )に近づく。
2
n
※ 以上ⅰ),ⅱ) より、nが大きい時には母集団の分布にかかわらず、標
本平均 x の分布は正規分布となり、標準化された変数
x
 n
の分布は、標準正規分布 N(0, 1) に近づく。
z
2）信頼区間
標準正規分布にしたがう変数が、-1.96と1.96の間の値をとる確率は
95%である。よって、 z 
x
 n
はnが大きいときには、中心極限定理によ
り標準正規分布にしたがうので、
P(1.96 
x
 1.96)  0.95
 n
となる。この式のカッコ内を変形すると
  1.96

 x    1.96
n
となり、標本平均 x は   1.96 
n

n
の区間内に95%の確率で含まれる。
x の分布
標準化
z
  1.96
また P(1.96 

n
μ
  1.96
zの分布
x
 n

-1.96
0
1.96
n
x
 1.96)  0.95 のカッコ内は次のようにも変形できる。
 n
 1.96 
x


 1.96  1.96
 x    1.96
 n
n
n
 1.96

 x  1.96
   x  1.96
n

n
   x  1.96

n

n
  1.96

n
 x    1.96

n
と x  1.96

n
   x  1.96
なことを意味している。
  1.96

n
x  1.96
×
μ
  1.96

×
x
n

n
x  1.96
×

n

n
は次のよう
x を中心に、 x  1.96 
という区間を考えると、とりうる標本のうち95%
n
がこの区間内に母平均μを含む。
• このように母数が含まれると考えられる区間を信頼区間とい
い、その区間に母数が入ると信頼できる程度を信頼係数と
いう。
• この場合、
( x  1.96
区間である。

n
, x  1.96

n
)
はμの信頼係数95%の信頼
3) 母分散が既知の場合の区間推定
（例） 20歳男性の身長を調べるために、100人を標本として選
んだところ、標本平均 x =170であった。σ=8であるとき、母
平均μの95%信頼区間を求めよ。
（解） μの95%信頼区間は
( x  1.96

n
, x  1.96

n
)
8
8
,170 1.96
)
100
100
(170 1.568,170 1.568)
(170 1.96
(169.43,171.57)
となる。
4）母分散が未知の場合の区間推定
母集団（大きさ N）
標本（大きさ n）
信頼区間を求める場合、
z
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× ×
母平均 μ
母分散 σ2
標本平均
x
標本分散
s2
x
が標準正規分布
 n
にしたがうという性質を用いる。
しかし、母平均の推定をおこ
なう場合に、母分散σ2が分
かっているということは、あま
り多くない。（過去の調査に
おいて母分散のおおよその
値が分かり、それを用いるな
どの例外はあるが）
母分散σ2がわからないとき、代わりに標本分散s2を用いる。
このとき、 t 
x
が自由度n-1のｔ分布にしたがう。
s / n 1
正規分布とt分布
0.45
0.40
0.35
0.30
normal
t1
t5
t10
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
3.00
※ t分布は標準正規分布を上からつぶしたような、左右対称の形をしている。
自由度が小さいほどつぶれ具合が大きく、自由度が大きいほど標準正規
分布に近くなっている。
※ 標本分散s2の代わりに標本不偏分散
2
( x1  x ) 2  ( x2  x ) 2    ( xn  x ) 2  ( xi  x )
sˆ 

n 1
n 1
2
を用いれば、 t  x   が自由度n-1のｔ分布にしたがう。
sˆ / n
＜自由度について＞
自由度とは、自由に値を取ることのできる個体数のこと
である。
この場合は、t統計量の自由度は標本分散 s2 の分子に
含まれる xi のうち、自由に値を取ることのできる個数で
n
ある。
2
( x  x )  ( x2  x )    ( x n  x )
s2  1

n
2
2
2
 (x  x)
i 1
i
n
なので、x1, …, xn-1 は自由に値をとることができるが、xn
は
x

n
i
x
を満たすように決められ、自由度はn-1となる。
• 母集団の分散が分からないとき、母平均μの95%信頼区
間は、ｔ分布の95%点をt0.95とあらわすと、
( x  t0.95
s
s
, x  t0.95
)
n 1
n 1
となる。 t0.95はt分布表からその値を求める。
x
※ より正確には、母集団の分布が正規分布にしたがうとき、t 
s / n 1
が自由度n-1のt分布にしたがう。
しかし、母集団の分布が正規分布にしたがわない場合でも、標本の
大きさがある程度大きければ、 t  x  
は近似的に自由度n-1
s / n 1
のt分布にしたがうとみなせる。
また、nが十分大きい場合、t分布は正規分布に近づくので、t  x  
が正規分布にしたがうと考えることもある。
s / n 1
x の分布
zの分布
標準化
z
  1.96

n
μ
  1.96
x
 n

-1.96
0
1.96
n
tの分布
母分散が分からない場合、
t
x
が自由度n-1の
s n 1
t分布にしたがう。
t統計量の95%が含まれる区
間の境界値であるt0.95の値を、
t分布表から探し出す。
変換
t
（自由度n-1のt分布）
x
s n 1
－ｔ0.95
ｔ0.95
（例） 20歳女性の身長を調べるために、10人を標本として選ん
だところ、標本平均 x =160であった。s=9であるとき、母平
均μの95%信頼区間を求めよ。
（解）自由度10-1=9のt分布のt0.95=2.262なので、 μの95%信
頼区間は
s
s
, x  t0.95
)
n 1
n 1
9
9
(160 2.262
, 160
 2.262
)
10  1
10  1
(160 2.262 3, 160
 2.262 3)
(160 6.79,160 6.79)
(153.21,166.79)
( x  t0.95
となる。
b) 母比率の区間推定
1）標本比率の標本分布
母集団（大きさ N）
×
標本（大きさ n）
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× ×
母比率
p
標本比率 pˆ
まず、標本比率 pˆ の標本
分布を考えよう。
内閣支持率を例にとると、
標本比率 pˆ とは、標本n
人のうちのx人が「内閣を
支持する」と答えた割合
であり、 pˆ  x である。
n
よって pˆ の標本分布を考えるためには、まずxの標本分布を
考えればよい。
• 標本として選ばれた人の答えは、それぞれ「内閣を支持す
る」か「内閣を支持しない」かのいずれである。
また選ばれた人が「内閣を支持する」人である確率は、母
比率pに等しい。
よって、n人の標本を選ぶことは、AかBかという2つの結果し
か起こらない試行をn回繰り返すこととみなすことができ、
「内閣を支持する」人の人数ｘは2項分布にしたがう。
• 2項分布の期待値は E(x) = np、分散は V(x) = npq である
ので、これを用いて、 pˆ の平均、分散を考えてみると、
x
E ( x) np
ˆ
E ( p)  E ( ) 

p
n
n
n
x V ( x) npq pq
V ( pˆ )  V ( )  2  2 
n
n
n
n
となる。
• また、「内閣を支持する」人を1、「内閣を支持しない」人を0と
表すことを考える。n人の標本の中に「内閣を支持する」人は
x人含まれるので、このようにあらわした場合、
pˆ 
x
n
は大き
さnの標本の平均とみなすことができ、中心極限定理が適用
できる。
pq
の正規分布にしたがう。
n
よって、 pˆ の分布は、平均p、分散
標準化された変数 z  pˆ  p は標準正規分布にしたがう。
pq
n
2）母比率の区間推定
z
pˆ  p
pq
n
が標準正規分布にしたがうことから、母比率pの
95%信頼区間は
pq
pq
, pˆ  1.96
)
n
n
( pˆ  1.96
となる。
（例） NHK大河ドラマ「龍馬伝」第20回（2010.5.14放送）の視聴率は20.4%
であった。この数値は関東地区の約1600万世帯から600世帯をサンプ
ルとして選んだ結果である。このデータから、関東地区全世帯の視聴率
の95%信頼区間を求めよう。
（解） pの代わりに pˆ を用いてpの95%信頼区間を計算すると
( pˆ  1.96
(0.204 1.96
pq
pq
, pˆ  1.96
)
n
n
0.204 0.796
0.204 0.796
,0.204 1.96
)
600
600
(0.204 0.032,0.204 0.032)
(0.172,0.236)
となる。
c) 標本数の決定
NHK大河ドラマ「龍馬伝」第20回の視聴率を信頼係数95%で区間推定
すると、6%以上の幅ができる。そのため、1%ぐらいの差で、勝った負け
たを考えるのはナンセンスである。
では、視聴率調査の精度を高めるには、推定量の一致性から標本数を
増やすことが考えられる。しかし、標本数を増やすことはコストの増加を
意味している。よって、目標となる精度(どの程度のズレまで許容できる
か)を設定し、それに必要な標本数を計算する必要がある。
1) 母平均の推定における標本数の決定
| x   | の許容限度を E とする。
 の区間推定を信頼係数 95% でおこなうとき、 x の分布について、
| x |
 1.96
 n
が成り立つので、
| x   | 1.96

n
E
となればよい。よって
1.96

n

1.96
E
E
 n
 1.96 

 n
 E 
2
となり、
 1.96 
n

E


2
が必要標本数であることが分かる。
これを求めるために、母標準偏差σが必要となるが、標本数を決定すると
いうことは、データ収集をおこなう前のことであり通常はわからない。その
ため、過去の経験などからσ2 の推定値を求め、それを利用する。
（例）ある大都市の大学生の1ヶ月平均生活費を1000円以内の誤差で推
定するという問題を考える。ただし、母集団の標準偏差は8000円であっ
たと見当がつけられているとする。
（解）信頼係数を95%とすると、必要標本数は
 1.96 8000
2
n
  (15.68)  245.8624
 1000 
2
となるので、246人となる。
2) 母比率の推定における標本数の決定
| pˆ  p | の許容限度を E とする。
pの区間推定を信頼係数 95% でおこなうとき、 pˆ の分布について、
が成り立つので、
| pˆ  p |
 1.96
pq
n
| pˆ  p | 1.96
pq
E
n
となればよい。よって
1.96
pq
E
n
1.96
pq
 n
E
2
 1.96

 pq  n
 E 
となり、
2
 1.96
n
 pq
E


が必要標本数であることが分かる。
これを求めるために、母比率pが必要となる。Pについて何らかの見当が
つくなら、その数値を用いるが、pについて何の情報もない場合には p  1
2
1
を用いる。なぜなら、 p  q  のときに、pqが最大となるからである。
2
（例）視聴率調査において、1%以内の誤差で推定するために必要な標本
数を求めよ。
（解）信頼係数を95%とする。また、母比率についてはあらゆる可能性が考
えられるので、 p  1 とすると、必要標本数は
2
2
1
 1.96 1 1
2
n
    (196)   9604
4
 0.01 2 2
となるので、9604人となる。

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