標本分布と推定・検定 標本平均を用いた母平均の推定 担当：岩村 英之 1 推測統計のイメージ 母集団 （名商大生全体） 母平均 標本平均 X 2 母分散 母標準偏差 標本 （選ばれた25人） 標本分散 標本標準偏差 ˆ 2 ˆ 推測（予想） 標本平均（25人の平均点）をヒントに 母平均（名商大生全体の平均）を推定する方法を学ぶ． 2 母平均の推定：２つのケース 母平均 母分散 （母標準偏差） ケースＡ わからない わかっている 正規分布 ケースＢ わからない わからない ｔ 分布 3 標本平均は確率変数 この25人が選ばれた ときの平均 ＝55点 この25人が選ばれた ときの平均 ＝48点 この25人が選ばれた ときの平均 ＝61点 母集団 （名商大生全体） どの25人が選ばれるかによって， 出てくる平均点の値も様々な可能性を持つ 標本平均は確率変数 4 標本平均が確率変数ということは， どの数値が出やすく，どの数値が出にくいか， つまり確率分布を持つ． 確率 このあたりの値は 出やすい このあたりの値は 出にくい 標本平均 出やすい値は？（＝標本平均の母平均は？） どのあたりの値まで可能か？（＝標本平均の母標準偏差は？） 5 標本平均の確率分布 名商大生の母平均が52点であるとすると… 確率 確率 52 名商大生の得点 （＝選ばれた1人の得点） の確率分布 X 52 選ばれた25人の得点の平均 （＝標本平均）の確率分布 X どちらも最も出やすいのは52点（母平均）だが， 標本平均のほうが52点に近い値が出やすくなっている． 6 定理１（資料p20） 母集団 平均 分散 2 標準偏差 正規分布 ｎ人（個）選んだときの 標本平均 平均 2 分散 標準偏差 n n 正規分布 もっとも出やすい値は同じ（＝母平均） 母平均により近い値が出やすくなる このことが意味するのは. . . . 標本平均は母平均 から 1.96 n の範囲内の値が95%の確率で出てくる 確率 95% 標本平均 σ 1.96 n σ 1.96 n 8 例題Ａ 今，名商大生の得点の母分散が252である （＝母標準偏差は25点）とわかっているとする． 95% 1.96 25 25 標本平均 1.96 25 25 母平均を推測する目的で，25人の名商大生を無作為に 選んで試験を受けてもらったところ，平均は58点であった． 標本平均58点をヒントに， 母平均の値を推測することができる． 9 母平均の区間推定の考え方 確率密度 95% 48 53 95% 58 95% 63 予想 A 母平均は63点 否定できない 予想 B 母平均は68点 否定できる 予想 C 母平均は53点 否定できない 予想 D 母平均は48点 否定できる 68 95% 標本平均 母平均の予想として 否定できない「区間」が残る 母平均の推定区間 母平均の区間推定：ケースＡ “ぎりぎり”の予想を見つける 確率密度 B 58 A 標本平均 この区間の予想ならば，58点によって 否定されることはない． 母平均の推定区間 11 L 9.8 58 L 標本平均 58 58 9.8 U 1.96 5 9.8 1.96 5 9.8 58 U 1.96 5 9.8 1.96 5 9.8 標本平均 12 L 9.8 58 L 58 9.8 45.1 58 9.8 U U 58 9.8 67.8 母平均の95パーセント信頼区間は45.1点から67.8点である． 13 例題Ｂ 母平均を推測する目的で，25人の名商大生を無作為に 選んで試験を受けてもらったところ，平均は58点であった． 今，名商大生の得点の母分散もわかっていない （＝母標準偏差もわかっていない）とする． 1.96 n がわからない 95% ? 標本平均 ? 14 母平均の区間推定：ケースＢ 母標準偏差の予想値として，25人の得点から不偏標準偏差 （s）を計算し，これを代わりに使う． s Aさんの得点 582 Nさんの得点 582 25 1 1.96 n 22 代わりに s を入れる もはや正規分布が使えない ＝1.96が使えない 15 標本平均の 標準正規分布 の95%点 ケースＡ ケースＢ 1.96 2.064 標準偏差 自由度24のｔ分布の 95%点 25 25 ? 代わりに不偏標準偏差（s）を 入れると 22 25 標本平均の 標準偏差の推定値 自由度＝標本数－１ 16 L 2.064 L 2.064 22 25 標本平均 58 2.064 22 25 58 2.064 22 25 2.064 22 U 25 標本平均 U 58 2.064 22 58 25 22 25 17 22 L 2.064 58 25 22 L 58 2.064 48.9184 25 22 58 2.064 U 25 22 U 58 2.064 67.0816 25 母平均の95パーセント信頼区間は48.9184点から67.0816点である． 18 母平均の区間推定：要点 標本平均は母平均から 1.96 n の範囲内の値が95%の確率で出てくる 標本平均は母平均から t 0.95 n 1 s n の範囲内の値が95%の確率で出てくる 自由度n-1のｔ分布の95%点 19 定期試験に向けて １ 標本平均・標本分散・標本標準偏差の計算を確認しよう． ２ 母平均の区間推定の方法（2通り）を確認しよう． ３ 中間試験の問題を解けるようにしておこう． ＊問題はウェブから入手可 ４ 計算ミスをした場合でも部分点がもらえるように， 途中のプロセスを書こう． ＊自分が後で見て分かるように， しかし解答欄に収まるように． ５ 再試験になってしまったら，定期試験の問題を 解けるようにしておこう． ＊問題は定期試験終了後にアップします． 20
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