5章母数の推定 (Estimation Of Parameters) 5.1 平均の推定（分散は既知） ■点推定点推定(Point Estimation)：標本平均：母数 = 母平均の推定値標本中央値：母数=母集団中央値の推定値 Q) その母数推定精度はどのくらい？ A) 『標準偏差○○○』区間推定(Interval Estimation)：『母平均 μ は 95% の確からしさで、標本平均値 ○○ ±○○○ の範囲にある』と言った統計的推論の形式。 ■推定量の性質推定量(Estimator) = 母数の推定に用いる標本統計量 1) 不偏性(Unbiasedness) … 持っていれば好ましい性質（持たない重要推定量も多い）推定量の期待値が母数になること。 1 n  E[ X ]  E   X i     n i 1  n  1 2 2 2 X i  X     E[ S ]  E    n  1 i 1  2) 一致性(Consistency) … 持っている必要がある性質観測個数(標本サイズ) n ⇒ ∞ 推定量 ⇒ 母数の一点に確率収束例：大数の法則により標本平均：母平均 μ に確率収束標本分散：母分散 σ2 に確率収束 ※理論母集団分布には、収束しないものもある。 3) 最小分散性、漸近的正規性など良い推定量を調べる分野 … 推定理論 ■母平均の区間推定 μ （分散既知または大標本法）左2.5%線 95% 信頼帯 μH μ の95% 信頼区間右2.5%線 μL 95% 信頼帯 o _ x _ X 数式による導出  X   P  Z ≦ zo   P  ≦ zo   / n   標準化された分布    P  z  / n ≦   X ≦ z  / n   PX  z  / n ≦  ≦ X  z  / n   P   X ≦ zo / n o o o  o 定理）母平均 μ の信頼区間標本平均～正規分布（中心極限定理など） [–zo, zo] : 標準正規分布の中央 100 β % 区間  σ σ  P  X  zo ≦ μ ≦ X  zo  β n n  実際的な表現   x  zo  n x 100 β% 信頼区間  用語区間の左端値: 下方信頼限界(μL) 区間の右端値: 上方信頼限界(μH) β : 信頼係数 or 信頼水準大標本法（目安： n ≧ 25）母標準偏差 σ が未知な時、標本標準偏差 s で置き換える。例小学6年生の身長の分布：過去の経験から σ = 7 cm。 n = 25 人の標本を取り、標本平均 146 cm が得られた。 a) μ に関する 95% 信頼区間、 b) μ に関する 90% 信頼区間を求めよ。 a) 中央 95% ( β = 0.95 ) ⇒ 標準正規分布上の点: zo ≒ 1.96 μ に関する 95%信頼区間  7   x  zo  146 1.96  146 2.744 (cm) n 25 b) 中央 90% ( β = 0.9 ) ⇒ zo ≒ 1.645 μ に関する 90%信頼区間  7   x  zo  146 1.645  146 2.303 (cm) n 25 5.3 分散の推定 ■母分散と母標準偏差の区間推定 σ2 45度線左2.5%線 ← 95%信頼帯 → 右2.5%線 σH2 s2 σL2 S    / n  1 2 s2 2 2 S2 数式による導出 Y  n 1 S 2 ～自由度 n  1 の 2分布 2 2 P  L2 ≦ Y ≦  H   n 1 2  2 2   P  L ≦ S ≦ H  2       2 1   1   P 2 ≧ ≧ 2  2  L( n  1) S  H       正の値の逆数の関係   n 1 2 n 1 2 2  P S ≧ ≧ S  2 2 H  L  定理）母分散 σ2 と母標準偏差 σ の信頼区間母集団分布形: 正規分布 [ χ2L , χ2H ] ：自由度 n – 1 のカイ自乗分布の中央 100 β % 区間  n 1 2 n 1 2  2 P 2 S ≦σ ≦ 2 S   β χL  χH   n 1   n 1  P S ≦σ ≦ S  β 2 2 χL    χH  例農家 - 地鶏の卵を出荷卵の大きさにバラツキがある n = 36 個の卵の重さを計測標準偏差 s = 6 g 母標準偏差 σ に関する 95% 信頼区間自由度 n – 1 = 36 – 1 = 35 のカイ自乗分布中央 95% ( β = 0.95) に対応する両端点 χ2L = (p = 0.975列) 20.57 χ2H = (p = 0.025列) 53.20 n 1  2 H s ≦ ≦ n 1  2 L s  σ = [ 4.9, 7.8 ] g 36  1 36  1  6 ≦ ≦ 6 53.20 20.57 (95%信頼区間)