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電気回路Ⅱ 演習第10回
•キルヒホッフの法則から微分方程式を導出
•過渡現象を表す解
•特解，過渡解，一般解の導出
•それぞれの回路に従った初期条件
過渡現象とは？

これまでは，常に定常状態を仮定していた．



直流回路では，常に電圧および電流が一定であった．
交流回路では，常に同じ周期で同じ大きさの電圧および電流
が与えられていた．
回路内にスイッチなどがあり，ある時間において開閉
する場合を考えよう．ある定常状態から別の定常状態
に移るまでの間に，現れる現象を過渡現象という．
キルヒホッフの法則による
回路の微分方程式（１）
R
L
E
R
C
E
switch
OFF→ON
回路の微分方程式
di
L  Ri  E
dt
もしswitchがON→OFFなら
L
di
 Ri  0
dt
switch
OFF→ON
1
idt  Ri  E

C
1
vC 
vC  RC
dvC
E
dt
C
idt  i  C
微分の形の式にしたい
もしswitchがON→OFFなら
vC  RC
dvC
dt
dvC
0
dt
キルヒホッフの法則による
回路の微分方程式（２）
R
C
L
E
switch
OFF→ON
回路の微分方程式
d 2 vC
dvC
LC 2  RC
 vC  E
dt
dt
もしswitchがON→OFFなら
d 2vC
dvC
LC 2  RC
 vC  0
dt
dt
例題1

次の回路においてスイッチを入れた場合に，流れる電流を求めよ
R
L
E
switch
OFF→ON
微分方程式を解く（１－１）


特解と過渡解を求める．
まず微分方程式 L di  Ri  E
dt
を求める．
…(式1)
１．特解 is を求める．
特解は定常状態の解である．よって
Ris  E
よって
d
i0
dt
とおく
is  E / R
２．過渡解 it を求める．
過渡解は，右辺の電流または電圧を含まない値を0とおき
解を求める．
di
L t  Rit  0
変数分離法などを使って解く
dt
微分方程式を解く（１－２）
変数分離法による解法
dit
L
 Rit  0より
dt
di
L t   Rit
d
1 df ( x)
dt
ln f ( x) 
f ( x) dx
1 dit
R dx

it dt
L
d
R
ln it  
dt
L
R
ln it   t  C1 積分定数（未知数）
L
 R

it  exp  t  C1 
 L

 R 
it  expC1  exp  t 
 L 
 R 
it  A exp  t 
 L 
特解も過渡解も，式(1)の共に解である．
よって重ね合わせより，一般解は
i  is  it
E
 R 
  A exp  t 
R
 L  となる．
後は，回路の状態の条件を上記の式に
入れることによって，未知数Aが求まる
微分方程式を解く（１－３）




最後に未知数Aを求める．
スイッチの入った瞬間の状態は？
 コイルが入っている場合，急に電圧がかかっても電流が流れないと仮
定する．したがって， t  0で i  0
この条件を先ほど求めた一般解に代入する．
it 0  0
E
 R 
  A exp  0 
R
 L 
したがって，この回路に流れる電流は
E
 R 
i  1  exp  t 
R
 L 
A
E
R
例題1の電圧および電流のグラフ
 抵抗にかかる電圧
電流

1.1 E 1

 R 
vR  Ri  E 1  exp  t 
 L ii(tt) v0.5R

E
 R 
i  1  exp  t 
R
 L 
0
E1.1/ R
ii ( tt)
 コンデンサにかかる電圧
t5tt
10
5
10
10
 R 11 E10
vL  E  vR  E exp  t 
 L 
i
0.5
0
00
0
1
vL( tt)
0
0
00
0
t5tt
vL5
10
10
4.5410
4
0
00
0
t tt
10
まとめ
1.

2.

3.
まず回路の微分方程式を導出する．
ここでは必ず微分の形になるように．積分が入る場合は変数を変
えてすべて微分になるようにする．
微分方程式を解く．特解（定常解）と過渡解を求める．
ここで過渡解について，１次の微分方程式なら1つ，2次なら2つの
解が導出される．ただし，この時点では未知数が1つないしは2つを
含む．
初期条件を代入し，未知数を求める．

（t=0の時，電流または電圧はどのような状態にあるか．）

詳しくは次のページに記載する．
回路の初期状態に関して

コイルの特性：急激な電流の変化がおきない
R
L
t  0において i  0
E
switch

OFF→ON
ON→OFF
t  0において i  E / R
コンデンサの特性：コンデンサに溜まる電荷はすぐに変化しない
したがって，コンデンサに発生する電圧は
急に変化しない
R
C
OFF→ON
t  0において vC  0
E
switch
ON→OFF
t  0において vC  E
問題１
1.
2.
回路においてコンデンサに発生する電圧を求めよ．
流れる電流を求めよ．
（コンデンサに発生する電圧がわかれば，抵抗に発生する電圧も求まる．後は
オームの法則より，電流を求めることができる）
R
C
E
switch
OFF→ON
例題2 RLC直列回路

次の回路に流れる電流を求めなさい
R
C
L
E
switch
OFF→ON
まず，キルヒホッフの法則より，以下の微分方程式が求まる
d 2 vC
dv
LC 2  RC C  vC  E
dt
dt
または
d 2q
dq
LC 2  RC  q  CE
dt
dt
q  CvC より
微分方程式を解く（２－１）



2次の微分方程式の解法については，別紙も参照のこと
今回は，変数をvC とした微分方程式を解くことにする．
q を変数とした微分方程式の解法は教科書に載っているので．

d 2 vC
dv
LC 2  RC C  vC  E
dt
dt
まず特解 vCs を求める．これは定常の場合でd / dt  0 とする
vCs  E

次に過渡解を求める．微分方程式の右辺を0とした場合の解
d 2vCt
dvCt
LC

RC
 vCt  0
2
dt
dt
微分方程式を解く（２－２）



2次の微分方程式を解く．
d 2vCt
dvCt
LC

RC
 vCt  0
2
dt
dt
2次の微分方程式の解は2つ存在する．
pt
まずは微分方程式の解をvCt  Ae とおく．方程式に代入して
LCp
2

 RCp  1 Ae pt  0
よって，
p
 RC 
RC 
2
2 LC
 4 LC
2

R
1
 R 
   
2L
 2 L  LC
微分方程式を解く（２－３）
2
1
 R
 0でなければ，二つの p の値が得られる
  
 2L  LC
p1 
 RC 
RC2  4LC
2LC
, p2 
 RC 
RC2  4LC
2LC
とすると
過渡解は vCt  A1e p t  A2e p t となる．
一般解は vC  vCs  vCt  E  A1e p t  A2e p t となる．
1
2
1
2
2
1
 R
もし   
 0ならば
 2L  LC
R
p

過渡解は vCt   A1  A2t e
となる．ただし 0 2 L である．
一般解は vC  vCs  vCt  E   A1  A2t e p0t となる．
p0t
微分方程式を解く（２－４）
2

1
 R
 0 の場合，
まず， 
 
 2L  LC
p1 , p2 
 RC 
RC2  4LC
2LC
よって，一般解に入れて
   

vC  E  A1e p1t  A2e p2t  E  et A1et  A2et

未知数 A1 , A2 を求めるには，初期条件を与えればよい
コンデンサには急に電荷はたまらない→
t  0でvC  0
コイルが入っているから，急に電流は流れない→ t  0で i  0
q  CvC   idt  CvC だから
d
1
vC  i
dt
C
t  0で
d
vC  0
dt
微分方程式を解く（２－５）

初期条件を代入して未知数を求める
    A1     A2  0
E  A1  A2  0
A1

  

E, A
したがって
2
2

  

E
2
   (  )t    (  )t
vC  E 
Ee

Ee
2
2
 e t
t
t
t
t 
 E 1 
 e e  e e 
 2


 e t
 E 1 


 
  et  e t
  
2
 

  e t  et
   
2
 
 


ここでγは，
実数か？
虚数か？
微分方程式を解く（２－６）
（場合分け γが実数の場合）

γが実数の場合，つまり
 e t
vC  E 1 


  et  e t
  
2
 
2
1
 R
 0の場合
  
 2L  LC
  e t  et 
   

2
 

 e t

  sinh t   cosh t 
 E 1 





t  
 E 1  e  sinh t  cosh t 



ただし
R
  ,  
2L
RC2  4 LC
2 LC
2
1
 R 
   
 2 L  LC


t  
q  CvC  CE 1  e  sinh t  cosht  教科書p330の結果と一致



微分方程式を解く（２－７）
（場合分け γが実数の場合）

電流を求めるには？
d
sinh t   cosht
dt
d
cosht   sinh t
dt
d
qを求めればよい
0
dt


d
t  
i  CE 1  e  sinh t  cosh t 
符号に注意
dt



 t  
 t  

 CE e  sinh t  cosh t   e   cosh t   sinh t 





t
q   idt より
i
2



t
 CEe  sinh t   sinh t 
 

2
2



 CEet
sinh t
ただし，γおよびαは前スライドの値である

微分方程式を解く（２－７）
（場合分け γが虚数の場合）
2

γが虚数の場合，つまり
まず，  j として，スライド(2-6)より
 e t
vC  E 1 


 e t
 E 1 
j

  et  e t
  
2
 
  e t  et
   
2
 
  e j  e  j
  
2
 

 
 E 1  e t 
 

1
 R
 0の場合
  
 2L  LC
 e j  e  j

2j

 



 e  j  e j
  j 
2


  e  j   e j
  
2
 



 E 1  e t  sin t  cos t 





t  
q  CvC  CE 1  e  sin t  cos t 



 


 


ただし
 RC   4 LC
R
  ,  
2L
2 LC
2
2
1
 R 
   
 2 L  LC
教科書p332の結果と一致
微分方程式を解く（２－８）
（場合分け γが虚数の場合）

電流を求めるには？
d
qを求めればよい
0
dt


d
t  
i  CE 1  e  sin t  cos t 
dt



 t  
 t  

 CE e  sin t  cos  t   e   cos t   sin t 





t
q   idt より
i
2



t
 CEe  sin  t   sin  t 
 

2
2



 CEet
sin t
ただし，αおよびβは前スライドの値である

微分方程式を解く（２－９）
（場合分け γが0の場合）

スライド（２－３）より
2
1
 R
もし     
 0ならば
 2L  LC
R
p0t
p

過渡解は vCt   A1  A2t e
となる．ただし 0 2 L である．
一般解は vC  vCs  vCt  E   A1  A2t e p0t となる．
これまでと同様に
未知数 A1 , A2 を求めるには，初期条件を与えればよい
コンデンサには急に電荷はたまらない→
t  0でvC  0
コイルが入っているから，急に電流は流れない→ t  0で i  0
q  CvC   idt  CvC だから
d
1
vC  i
dt
C
t  0で
d
vC  0
dt
微分方程式を解く（２－１０）
（場合分け γが0の場合）

初期条件を代入して未知数を求める
p0 A1  A2  0
E  A1  0
A1  E, A2  p0 E
したがって vC  E   E  p0 Et  e
p0 t


 E 1  e p0t  1  p0t 
R
 
R   2Lt 
 E 1  1 
t e

2
L

 

 R  2RL t R 
d
R   2RL t 
i  CvC  CE 
e

t e
1 

dt
2
L
2
L
2
L




2
 R 
 CE   te
 2L 

R
t
2L

E
te
L

R
t
2L
2
1
 R
   
 0より
2
L
LC
 
問題２

次の回路に流れる電流を求めなさい
R
C
E
switch
ON→OFF
L
交流電源を用いた場合の過渡現象
（１）

例題：次の回路に流れる電流を求めよ
R
e  Em sint    ～
L
switch
OFF→ON
交流電源を用いた場合の過渡現象
（２）

１．微分方程式を導出する
d
L i  Ri  Em sin t   
dt

２．特解を求める．（定常解）これはすでにやってきたこと
is 

Em
R 2   2 L2
sin t     
ただし
  tan
1
L
R
３．過渡解を求める．微分方程式の右辺を0とした場合の解
R
 t
d
L it  Rit  0 より it  Ae L
dt
（微分方程式を解く（１－２）
の内容と同じ）
交流電源を用いた場合の過渡現象
（３）

よって一般解は
i  is  it 
R
 t
L
Em
R  L
2
2 2
sin t       Ae
ただし
  tan
1
未知数Aを求めるには初期条件を入れる
L
R
コイルが入っているので急に電流は流れない→ t = 0でi = 0
この条件を一般解に代入すると
0
Em
R 2   2 L2
R 2   2 L2
sin    
回路に流れる電流は
したがって
Im 
sin      A → A 
 Em
Em
R  L
2
2 2
とおくと
i  I m sin t       I m sin   e
R
 t
L
問題３

例題：次の回路に流れる電流を求めよ
R
L
e  Em sint    ～
switch
ON→OFF

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