q-量子変形された余次元空間を持つ5次元時空物理学専攻豊田陽己

q-量子変形された余次元空間を持つ５次元時空
物理学専攻豊田陽己
平成１３年１２月１２日 (水)
1. 導入
2. 正準交換関係と q-交換関係
3. q-調和振動子
4. q-量子変形された
余次元空間を持つ５次元時空
5. まとめと今後の課題
1
導入
■ q-deformation 量子化の試み
ì
1980 年代後半ò
[A]
è 通常の量子化
í
è 力学系 A
ê
mapping が存在
ë
()
ì
[B]
ê
è q-量子変形
í
è 力学系 B
[A],[B] は利用目的に応じた記述の差？
è 複雑な力学構造を簡単な模型で記述可
例調和振動子
!通常：等間隔なエネルギー固有値
q-量子変形：不等間隔のエネルギー固有値
■今回の試み
è ある種の非可換構造を持つ系を q-量子変形の方法で構
成する。
Ä!barane 的な模型に応用
è 4+1-dim 時空の粒子模型の性質を調べる。
4-dim 時空との間の q-量子変形。
ë
正準交換関係と q-交換関係 (1 次元)
2
■正準量子化
ì
ê
[a; a ] = aa Ä a a = 1
y
y
y
[N ; a] = Äa ; [N ; a ] = a ; N = a a
y
í
y
m
■mapping
ì
v
u
u
u
t
y
v
u
u
u
t
í
y
m
■q-量子化
î
aq aq
y
ï
ë
ê
= aq aq Ä q ãaq aq = q ÄãN
y
q
î
y
ï
[Nq ; aq ] = Äaq ; Nq ; aq = aq ; Nq = aq aq
í
ë
ê
[W ]q
[W ]q
a ; aq = a
N
N
q W Ä q ÄW
; N = Nq
W = ãN; [ W ]q = ã
q Ä q Äã
aq =
ì
y
y
y
y
ë
3
q-調和振動子 (1 次元)
■通常の調和振動子
1
1
1
H = p2 + x2 = fa; a g; (q = 1)
2
2
2
定常状態
y
ï
@ î
ÄiEt=ñ
h
h
iñ
h
âE (x)e
= EâE (x)eÄiEt=ñ
@t
1
h
= fa; aygâE (x)eÄiEt=ñ
2
+
q-量子変形
1
faq ; ayq gâE (x) = Hq âE (x)
2
1
1 sinh[ W2 ln q]
Hq = ([W ]q + [W + 1]q ) =
2
2 sinh[ ã
2 ln q]
EâE (x) =
□不確定性関係の修正
xq =
v
u
u
u
t
v
u
u
u
t
1 y
1
(aq + aq ) ; pq = i (ayq Ä aq )
2
2
ì
1í 2
2
! Hq = pq + xq
2
iñ
h sinh[ ã
h @ sinh[ ã
N ln q] iñ
2
2 N ln q]
[xq ; pq ] =
+
p
2 sinh[ 12 ãln q]
2 @p sinh[ 12 ãln q]
ã
= iñ
h cosh[ N ln q]
2
! iñ
h (q ! 1)
2
Åxq Åpq ï j < âj cosh[ ã
2 N ln q]jâ > j
□ (t; x; p) 空間の q-量子変形の試み
ì
ê
[aq ; aq ]q = aq aq Ä q ãaq aq = q ÄW
0
1
@
W = ãN + ï@iñ
h A
@t
y
í
y
y
EâE (x) = Hq;ã;ïâE (x)
1 sinh[ ã
2 (N + ïE) ln q] â (x)
=
E
2
sinh[ ã
2 ln q]
ï> 0 の場合
! |{z}
4 +
時空
|{z}
1
調和振動子型
ï< 0 の場合
次元模型へ適用。
ë
] ☆ comment
■ q-量子変形の導入方法
∼調和振動子の場合∼
H=
1 2 m 2 2
p + ! x
2m
2
1
H = !(a a + )
2
!
H = fa; ag
2
y
+q-量子変形
+q-量子変形
1
! !(aq aq + )
2
!
! faq ; aq g
2
y
y
r
r
!
= [ a a 2
r
r
+ a a ]
y
y
ì
ëA
r
ëB
A=B
２次元以上の場合 A 6= B
(モデルに依存)
１次元の場合
í
r
1
= ![ a a + ]
2
y
ê
ë
4
5 次元時空モデルへの応用
■RS 模型
V＋
V-
Λ
０
解の安定性
周期的境界条件有
ｂｕｌｋ
ｙc
ｙ
Mpl ò M ò î
îeÄ2îyc ò 電弱スケール
S = SGravity + Sbrane + Sbrane0 ;
ds2 = eÄ2kjyjëñódxñdxó + dy 2;
Z
Z
p
4
SGravity = d x dy ÄGfÄÉ+ 2M 3Rg
Z
p
SÜ = d4x ÄgÜfVÜ + LÜmatter g;
Z
M3
2
2 yc
Ä2î
=
Mpl ë 2M 0 dye
(1 Ä eÄ2îyc ):
î
■D-branes
Fij
＝ c o n st
[xñ; xó] = |{z}
í 6= 0
const
4-
d im
ローレンツ共変性？
■我々のモデル
[xñ; xó] = 0; [xñ; x5 ] 6= 0
５次元空間!q-調和振動子 (バネが強い)
ローレンツ共変性、解の安定性 OK
■Randall-Sundrum type of model
ds2 = eÄ2õ(ë)ëñódxñdxó Ä dë2; dë= eÄõdy
= V (y)dxN dxN ; (V (y) = eÄ2õ(y))
(ñ; ó= 0; 1; 2; 3; dx5 = dy) ; diag(ëñó) = (+; Ä; Ä; Ä)
+作用 S
Z
Z
r
S = m ds = m dú V (y)ëN M x_ N x_ M
eq of motion
pñpñ Ä (py + m2V (y)) = pñpñ Ä îfa; a g = 0
y
Einstein 方程式
(É = 0) の解
+q-量子変形
m2V (y) = îy 2
†
î !É
õ= Ä log
y
m
pñpñ Ä îfaq ; aq g
sinh
= p Äî
2
î
y
í
ãln q 12 fa; ayg
î
ï
ã
sinh 2 ln q
+ ïp
2
ìï
=0
[xñ; xó] = 0
ãïîÄ1 q ãW + q ÄãW
5
faq ; pñg 6= 0
[xñ; xq ] = p
2î q ãW Ä q ÄãW
(4-dim と余 1-dim の間に非可換性が生じる)
■õの決定
1
ÄIJK = g IL(@K gLJ + @J gLK Ä @LgJK )
2
ñ
0 ñ
5
0
Ä2õ
Äñ
5ó = Äó5 = Äõ é
ó ; Äñó = Äõ ëñóe
M L
RIK = @LÄLIK Ä @K ÄLIL + ÄLIK ÄM
LM Ä ÄIL ÄKM
Rñó = ëñóeÄ2õ(Äõ00 Ä õ02)
R55 = 4(õ00 Ä õ02)
R = g ij Rij = Ä8õ00 Ä 20õ02
S ò
Rñó Ä
Z
+作用 S
p
d5ú g(R + 2É) (静的)
1
É
gñó(R + 2É) = 0 or õ00 Ä 2õ02 Ä = 0
2
3
1
! õ(ë) = Ä log sinh
2
0v
u
u
Bu
Bt
@
Ä
1
2É C
ëC
A + const:
3
ここで，eÄ2õ(ë) ! 2îë(É ! 0)
8
>
>
<
v
u
u
u
t
1
3
õ(ë) = Ä log >
2î
Ä
sinh
>
:
2
2É
0v
u
u
Bu
Bt
@
Ä
19
>
>
C=
C
A>
>
;
2É
ë ;
3
■５次元時空の場 (û:スカラー場)
S =
Z
3
2
ö
õ
5 p 41
ij
2
2 5
dx g
g @iû@j ûÄ (m Ä òR)û
2
ò : パラメター; g = det(gij ); R : スカラー曲率
◇eq of motion
2
0
1
3
0
1
+
~ , ò=
û= e 2 õû
3 A2 @ 3
6 2õ @
4e
@i Ä @iõ +
Ä òA R75 û= 0
2
16
3
3
16
~ 0
(@ñ@ ñ Ä @y2 + eÄõm2)û=
◇質量固有値 M 2(= p2) について
sinh
p2 Ä î
î
í
ãln q 12 fa; ayg
î
ï
ã
sinh 2 ln q
+ ïp
2
è 質量の階層性
è 高階微分を含むプロパゲーター
è 場の理論の発散問題の収束性
ìï
=0
●階層性
ï> 0 の場合
ï< 0 の場合
î
í
1
2 +
ï
ïMn2
ìï
sinh ãln q n +
î
Mn2 = î
sinh ã
2 ln q
î
M0 ò
e(ãln q)ïî ; (ïîù 1)
ã
sinh[ 2 ln q]
●高階微分による ghost は現れない。
例）通常の高階微分を含むプロパゲーター。
2
3
1
1
1
1
4
5
Ä
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(p Ä m1)(p Ä m2) m1 Ä m2 p Ä m1 p Ä m2
□我々の場合 (x = p2; xn :n 番目の pole)
Rn
1
; (x ' xn )
'
x Ä M 2(x) x Ä xn
sinh[ãln q=2]
Res : Rn =
> 0 (符号は変わらない)
cosh[ 12 ãln qï(n + ïxn )]
◇発散問題の改善 (one loop diagram)
i Z d4 p
1
(2ô)4 p2 Ä îsinh[ãln q( 12 fa;a g+ïp2)]
n=0 2
sinh[ ã
2 ln q ]
1
X
y
ô2 Z
p3dp
=
2
sinh[ãln q ( 12 +n+ïp2 )]
n=0 (2ô)
2
p +î
sinh[ ã
2 ln q ]
1
X
ò
1
X
2
ôî
2
n=0 (2ô)
Z
î
ï
1
2
sinh
ãln q
dpp3 ãln q[ 1 2+n+ïp2 ]
2
e
; (p ù 0)
î
ô2
ò îÇ (f inite);
=
2(2ô)4 (ãïln q)2
(ãïln q 6= 0)
5
まとめと今後の課題
◇まとめ
èRS 模型で余次元座標としての q-量子変形さ
れた座標を導入することができた。
è 時空構造は安定。
èmass の階層性。
èmulti pole ghost は現れない。
è 場の理論において one loop の収束性がよい。
◇今後の課題
èq-量子変形の導入方法の検討
èmatter のある場合の解の構造。

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