微小振幅波の理論2 - 山口大学工学部社会建設

微小振幅波の理論２
酒井哲郎：海岸工学入門，森北出版
第11章（pp.128-133）
本日の内容
群速度
水粒子の軌跡
波のエネルギー
有限振幅波
群速度（group velocity）：波エネルギーの伝播速度
波高と進行方向は同じであるが周期が少し異なる（波数も少し異
なってくる）二つの波の重ね合わせを考える．
H
H
cos  k1 x   1t   cos  k2 x   2t 
2
2
   2   k1  k2
 2 
k k
 H cos  1 2 x  1
t  cos 
x 1
t
2
2
 2

 2


 1   2  2
k1  k2  2k
1   2
k1  k2
2
2k
とおくと

H cos  kx   t  cos  kx   t 
振幅の場所や時間的変化を表す
と表現できる．
進行波の性質を表す部分
波はうなりの状態（ビート型の振動）になる．
C
Cg
   2   k1  k2
 2 
 k1  k2
x 1
t  cos 
x 1
t
2
2
 2

 2

 H cos  kx   t  cos  kx   t 
 2 
k k
  H cos  1 2 x  1
t
2
 2

  H cos 
：包絡波（envelope wave）
：搬送波（carrier wave）
包絡波の位相速度（波速）を群速度Cgという．
Cg 
1   2
k1  k2


k
 d

 0 k
dk
いま，  0 の極限を考えると Cg  lim
周波数と波数の関係式（分散関係式）を波数で微分する．
 2  gk tanh kh
d 2
d
d
h
 2

 gk tanh kh   g tanh kh  gk
dk
dk dk
cosh 2 kh
2
1
2
sinh kh
h

 gkh

 gk
2
k
cosh kh k
cosh kh cosh kh  sinh kh
2
h
 2  2 2kh

 gk tanh kh


k
cosh kh  sinh kh k
k sinh 2kh
d
1   2  2 2kh   
2kh 
Cg 



1





dk 2  k
k sinh 2kh  2k  sinh 2kh 
搬送波の位相速度CはC=/kであるので，
 
2kh 
Cg 
1 
  nC
2k  sinh 2kh 
1
2kh 
n  1 

2  sinh 2kh 
深海波（h/L≧1/2）ではn=1/2となる．
C
Cg 
2
gT
C
2
極浅海波（長波）（h/L<1/25）ではn=1となる．
Cg  C
C  gh
水粒子の軌跡
水中で流体粒子はどのように動いているのかを考える．
H  cosh k  z  h 

sin  kx   t 
2k
sinh kh
速度ポテンシャルをx，zで微分すると流速成分u，wが得られる．
 H cosh k  z  h 
u

cos  kx   t 
x
2
sinh kh
 H  sinh k  z  h 
w

sin  kx   t 
z
2
sinh kh
流体粒子の平均的な位置  x , z  からある時刻における流体粒子の位置 x, z 
までの距離を  ,    x  x , z  z  とする．
d  x  x  d
u

dt
dt
d  z  z  d
w

dt
dt
流速を次のようにテイラー展開する．
u  x , z , t 
u  x , z , t 
d
 u  x, z , t   u  x   , z   , t   u  x , z , t  


dt
x
z
w  x , z , t 
w  x , z , t 
d
 w  x, z , t   w  x   , z   , t   w  x , z , t  


dt
x
z
第一近似解
テイラー展開の右辺第二項以下を無視する．
d
H cosh k  z  h 
 u  x, z ,t  
cos  kx   t 
dt
2
sinh kh
d
H sinh k  z  h 
 w x, z ,t  
sin  kx   t 
dt
2
sinh kh
上式は直ちに時間に関して積分できる．
H cosh k  z  h 
 
sin  kx   t 
2
sinh kh
H sinh k  z  h 
 
cos  kx   t 
2
sinh kh
上二式から時間tを消去する．
2
A
2

2
B
2
H cosh k  z  h 
A
2
sinh kh
流体粒子の軌跡は楕円となる．
1
H sinh k  z  h 
B
2
sinh kh
第一近似解では流体粒子の軌道は閉じており，流れは往復流となっている．
微小振幅波理論が適用できる波においても前述のテイラー展開の第二項
が無視できない場合も存在する．
第二近似解
テイラー展開の右辺第三項までを考慮して求める．
この場合，流体粒子の軌跡は閉じず螺旋状の動きをしながら進行していく．
水の実質部分が波の進行方向に運ばれる現象を質量輸送（mass transport）
という．
圧力p
拡張されたベルヌイの定理

p
 gz   0
t



  H cosh k  z  h 
  gz    
sin  kx   t     gz
t
t  2k
sinh kh

H  2 cosh k  z  h 

cos  kx   t    gz
2k
sinh kh
Hgk tanh kh cosh k  z  h 

cos  kx   t    gz
2k
sinh kh
H cosh k  z  h 
 g
cos  kx   t    gz
2
cosh kh
p  
波による圧力変動
静水圧
波のエネルギー
１波長平均のポテンシャルエネルギー
Ep 
g
L
 gH 2

16
L/2
 

L/ 2 0
zdxdz 
g
2L

L/2
L/ 2
 dx 
2
g
8L

L/2
L/ 2
cos 2 (kx   t )dx
１波長平均の運動エネルギー

L/2

 u 2  w2  dxdz
微小振幅波より≒0
2 L  L / 2  h
L/2
0
 2 H 2
2
2

cos
(
kx


t
)

sinh
k (h  z )  dxdz

2



L
/
2

h
8 L sinh kh
 gH 2

16
Ek 
単位面積当たりの波の平均の全エネルギー
E  E p  Ek 
 gH 2
8
輸送される波のエネルギー
単位幅当たりのx方向に輸送されるエネルギーWを考える．
 
 u 2  w2

p
W  g 

 z  udz    
udz
h

h
g
t
 2g


微小振幅波（ ≒0 ）とすると
1
2kh  2

W   gH 2C 1 
 cos  kx   t 
8
 sinh kh 
一周期平均では
1 T
 gH 2 C 
2kh 
W   Wdt 
1


  ECg  nEC
0
T
8 2  sinh kh 
有限振幅波
浅水変形を起こし波高が増大すると微小振幅波理論を適用できなくな
る．
波高を微小と考えずにその有限性を近似的に考慮した理論（有限振幅
波理論）を用いる．
摂動展開法を用いる．
微小無次元パラメータe（1）を用いて速度ポテンシャルや波形をeのべ
き級数に展開する．
  e1 e 2 2 e 3 3 e 4 4 
  e 1 e 2 2 e 3 3 e 4 4 
各オーダーの項に対する境界条件を組み立てて方程式を解く．
第一項目は微小振幅波に相当する．

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