計測工学6 最小二乗法最小二乗法の考え方誤差を含む実験データに、どのように直線を引くべきか？ 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 最小二乗法の考え方実験データをつなぐ→×直線でない 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 最小二乗法の考え方最初の２個のデータを通る→×最初の２個だけとる根拠なし 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 最小二乗法の考え方最初と最後のデータを通る→×根拠は？ 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 最小二乗法の考え方この辺を通る→△この辺とは？ 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 最小二乗法の考え方この辺を通る→△この辺とは？ 6 残差viの二乗和を最小にする Σvi2→最小 5 v4 v3 4 v2 3 v1 2 1 0 0 1 2 3 4 5 例）平均値の最小二乗法的理解 • データx1 , x2 , ・・・ , xn • このデータに対する二乗誤差最小となる値Ａは？ – （ Σ（xi-A）2を最小） • 二乗誤差のAに対する偏微分＝０ – （極値）（ə／ əA）（ Σ（xi-A）2）= -2 Σ（xi-A）=0 Σ（xi-A）=0 Σxi - ΣA = Σxi - nA = 0 nA= Σxi A= （1／n）Σxi →これは平均値のこと • つまり平均値は二乗誤差最小の値である実験式を１次式で近似する • • • • • 変数の個数：m 測定回数：n（n>m）測定値：M , Mi 未知量：xi １次方程式 ax1+bx2+・・+lxm=M 実験式を１次式で近似する（１）測定方程式 ai, bi・・・, liは測定または設定されている a1x1+b1x2+・・+l1xm=M1 a2x1+b2x2+・・+l2xm=M2 ・・・・・・・・・・・ anx1+bnx2+・・+lnxm=Mn m個の未知量に対して n個の方程式 • 例えば未知量の数m=2, biが全て1の場合一次方程式は x1a+x2=M の直線（傾きx1、切片x2 ）となる 6 5 4 M3 2 1 0 0 2 4 a 6 実験式を１次式で近似する（１）測定方程式未知量の数m=2 方程式（実験データ）の数 n=2 (n=m) 未知量の数m=2 方程式（実験データ）の数 n=1 (n<m) 6 5 4 M 3 2 1 0 6 5 4 M 3 2 1 0 0 5 a 方程式は解けない →データを通る線がいくつも引ける未知量の数m=2 方程式（実験データ）の数 n=4 (n>m) 6 5 4 M 3 2 1 0 0 5 a 方程式は解ける →データを通る線が一本確定する 0 5 a 方程式は解けない →二乗誤差最小の線が引ける