Spinとは何か？ —Zitterbewegungの解釈を巡って

Spin とは何か？
—Zitterbewegung の解釈を巡って
作用素論セミナー 2005 年 9 月 3 日於富山
井上淳
ATLOM
1
Fermion の量子化
1
Boson の量子化
1.1
Lagrange 力学 ⇐⇒ Hamilton 力学
L(γ, γ)
˙
Legendre 変換
⇐⇒
H(q, p)
量子化
−−−−−→
Liouville 方程式


Heisenberg 描像


量子化
Hamilton 方程式 −−−−−→ Schr¨
odinger 描像
古典力学
Hamilton 方程式
但し、

 q˙ = Hp (q, p),
 p˙ = −Hq (q, p),
q(0)
q
=
p(0)
m
Liouville 方程式 φ˙ = {φ, H} =
j=1
p
,
i.e.
d
dt
0
1
J=
−1 0
∂φ ∂H
∂φ ∂H
−
∂qj ∂pj
∂pj ∂qj
q
=J
p
Hq
Hp
.
ここで
φ(0, q, p) = φ(q, p).
⊂
Hamilton 方程式 −−−−→ 非線形 ODE




注意 1：
Liouville 方程式
⊂
−−−−→
線形 PDE
注意 2：並木美喜雄が「光または電子のような物質粒子を用いた干渉の実験で、その入射波の強度をしだ
いに弱くしていったら、干渉図形は消えて粒子が一つ一つ観測されるような写真が実験でとれないだろうか」
と市ノ川竹男に依頼し、市ノ川は 1978.1 岩波講座現代物理学の基礎（第 2 版）月報で写真を示した。そして、
粒子性と波動性の確実な把握のための実験であるとした。
こうなると統計力学と量子力学の違いは何か、＊＊方程式で時間を虚数にすることとの関係、 Fokker-Planck
方程式なるものをこの図式でどういう位置に置いたらよいのかとか、分らないことだらけになる。
上の対応は
⊂
Navier-Stokes 方程式 −−−−→ 非線形 PDE




⊂
Hopf 方程式
−−−−→
線形 FDE
と一般化できる。しかし、「量子化」に相当する部分は汎関数微分方程式 (FDE=Functional Derivative Equations)
になるだろう以上には見当がつかない。 McKean や Bourgain 等が非線形偏微分方程式の不変測度を探すと言
う試みをしているが、量子化との関係や、対応する Fokker-Planck 方程式はどうなるのか、私は知らない。
量子力学
(S) 状態関数 u(t) の時間的変動を規制する方法：
Schr¨
odinger 描像 i
∂u(t)
ˆ
= Hu(t)
∂t
ここで
2
u(0) = u,
i.e. u(t) = e−i
−1
ˆ
tH
u.
(H) 力学量演算子 Fˆ (t) の時間的変動を規制する方法：
Heisenberg 描像 i
d ˆ
ˆ ここで
F (t) = [Fˆ (t), H]
dt
Fˆ (0) = Fˆ .
(F) Bohr の対応原理を明確にする経路積分表示：
Feynman 描像 E(t, 0, q, q) =
exp i
t
−1
Ct,q,q
L(γ(s), γ(s))ds
˙
dF γ(·),
0
Ct,q,q = {γ ∈ C([0, t] : Rd ) | γ(0) = q, γ(t) = q},
E(t, 0, q, q) ∼ D(t, 0, q, q)1/2 ei
−1
S(t,0,q,q)
.
Fermion の量子化
1.2
問題: 電子の運動を表示している Dirac 方程式、或いは、 Zitterbewegung とよばれる「現象」には古典的
対応物があるのか？以下は Feynman (p.355 of Feynman & Hibbs [4]）からの引用：
· · · path integrals suffer grievously from a serious defect. They do not permit a discussion of
spin operators or other such operators in a simple and lucid way. They find their greatest use
in systems for which coordinates and their conjugate momenta are adequate. Nevertheless, spin
is a simple and vital part of real quantum-mechanical systems. It is a serious limitation that
the half-integral spin of the electron does not find a simple and ready representation. It can
be handled if the amplitudes and quantities are considered as quaternions instead of ordinary
complex numbers, but the lack of commutativity of such numbers is a serious complication.
問題の設定
2
自由 Dirac 方程式の初期値問題は、与えられた初期値 ψ(q) に対して以下を満たす ψ(t, q) : R × R3 → C4
を求めることである：

i ∂ ψ(t, q) = Hψ(t, q)
∂t
(1)

ψ(0, q) = ψ(q)
ここで
3
αk
H = −i c
k=1
∂
+ mc2β ,
∂qk
αk , β } は Clifford 関係式
, c, m は物理定数, ψ(t, q) = t (ψ1 (t, q), ψ2 (t, q), ψ3 (t, q), ψ4 (t, q)), また {α
αj αk + αk αj = 2δjk I4 ,
αk β + β αk = 0,
β 2 = I4
αk , β } の Dirac 行列表現を用いる：
を満たすものである。以下では {α
β=
σ1 =
0 1
,
1 0
I2
0
σ2 =
σk
0
,
αk =
0
σk
0 −i
,
i 0
σ3 =
1 0
,
0 −1
0
−I2
,
問題：非相対論的量子力学における速度作用素の時間変化は、 qˆjH (t) = ei
|ˆ
p|2 =
3
j=1
pˆ2j = − 2 ∆q として、
i
pˆj
d H
qˆj (t) = [ˆ
qjH (t), H]− =
= vˆj ,
dt
m
3
I2 =
−1
tH
1 0
.
0 1
qˆj e−i
−1
tH
,H=
|p|
ˆ2
2m
+V (q),
即ち、 mˆ
vj = pˆj という比例関係がある。
Dirac 方程式の場合は以下に示されるように
i
d H
αj
qˆ (t) = [ˆ
qjH (t), H]− = cα
dt j
で、速度と運動量とは無関係になってしまう。更に、 α j の固有値は ±1 だから、「電子」は光速度で走ってい
αj , H]− = 0 だから qˆjH (t) は運動の
ることになってしまうが、観測されるものは光速度以下である。ところで [α
恒量ではなく、観測しているものは
ψ †α j ψdx
αj =
ψ † ψdx
で、「電子」の瞬間速度は光速度に達したとしても、電子は絶えず行きつ戻りつし平均すれば光速度以下で進
む。（西島和彦「相対論的量子力学」 p32 ）
また、波動即粒子、粒子即波動という西田哲学めいた命題が量子論では何の矛盾もなく成立するという
のだが？（朝永振一郎「スピンはめぐる」では第 2 量子化を用いて説明している、 p164 からの断章取義的引用。
事の序でにの経路積分的説明との関連は？）
Pauli が言ったとされている古典的に記述不可能な２価性とは？その解決策は？
補題 1 pˆk = −i ∂qk として

−2ci δjk ∂q
k
α j , H]± = c[α
αj , α k ]± pˆk + mc2 [α
α j , β ]± =
[α
−2ci (1 − δ )α
2
jk α j α k ∂qk + 2mc α j β

2mc2
但し +,
αj , [ˆ
β , H]± =
[ˆ
qj , H]− = i cα
pk , H]− = 0.
[β
−2ci β α ∂
但し −.
k qk
これより、
qˆjH (t) = ei
−1
tH
−1
qˆj e−i
tH
i
pˆH
k (t) = e
,
−1
tH
−1
pˆk e−i
tH
と定義して、 Dirac 方程式に対応する Heisenberg 描像の一部を得る：
i
3
3.1
d H
qˆ (t) = [ˆ
qjH (t), H]− ,
dt j
i
d H
pˆ (t) = [ˆ
pH
k (t), H]− .
dt k
Zitterbewegung の物理的解釈
速度作用素
さて
i
αH
j (t) = e
−1
tH
α j e−i
H2 = |H|2 I4 = (−c2
−1
tH
2
,
i
pˆH
j (t) = e
∆q + c4 m2 )I4
−1
tH
pˆj e−i
より
−1
tH
H−1 =
etc,
H
|H|2
とおき、前の補題 1 を用いると
i
d H
−1 H
αH
α (t) = 2H(α
pˆj (t))
j (t) − H
dt j
但し
j = 1, 2, 3,
となる。そこで
−1
ηˆjH (t) = α H
pˆj
j (t) − cH
但し
j = 1, 2, 3,
と定義すると
i
d H
ηˆ (t) = 2Hˆ
ηjH (t) = [H, ηˆjH (t)]− .
dt j
4
但し +,
但し −,
補題 1 より
[ˆ
ηjH (t), H]+ = 0 = [ˆ
ηj , H]+ ,
となるから、
ηˆjH (t) = e−2i
−1
tH
ηˆj = ei
−1
tH
−1
ηˆj e−i
tH
,
となり、 “ˆ
ηjH (t)” という表現は妥当である。
さて qˆj を掛け算作用 qj × として、
qˆjH (t) = ei
−1
とし
qˆC,j (t) = qˆj + c2 tH−1 pˆj , qˆZ,j (t) =
tH
qˆj e−i
−1
tH
1
i cˆ
ηj H−1 e−2i
2
−1
tH
=
1
i cˆ
ηjH (t)H−1
2
とおくと、
補題 2 以下のように分解される：
qˆjH (t) = qˆC,j (t) + qˆZ,j (t)
略証：
d H
2 −1
αH
qˆ (t) = cα
pˆj + cˆ
ηj e−2i
j (t) = c H
dt j
−1
tH
.
を 0 から t まで積分せよ。
注意： qˆC (t) は相対的点質量の位置作用素で、 qˆZ (t) はマクロスコピックな高振動数の Zitterbewegung を
−1
表す。また、 c2 H−1 pˆj は古典的速度作用素、 qˆZ,j = cˆ
ηj e−2i tH は速度作用素の Zitterbewegung である。
4
Zitterbewegung—ATLOM の解釈
微分作用素 H を Fourier 変換して

mc
0


α j pj + mc β = c 
H(p) = cα
 p
3

p1 + ip2
2
が得られる。ここで H2 (p) = c2 |p|2mc I4 , |p|mc =
i
0
mc
p3
p1 + ip2
p1 − ip2
−mc
−p3
0

p1 − ip2

−p3 

0 

−mc
m2 c2 + |p|2 を用いて
∂ ˆ
ˆ p)
ψ(t, p) = H(p)ψ(t,
∂t
の解は、
e−i
−1
tH(p)
= cos(c
−1
t|p|mc )I4 −
i
sin(c
c|p|mc
−1
t|p|mc )H(p).
但し、これでは、「古典力学」が見えてこないし Bohr の対応原理があるのかどうかも分らない。
主定理 1 (Dirac 方程式の解の経路積分的表現)
ψ(t, q) =
¯ ξ, π)ei
dξdπ D1/2 (t, x
¯, θ,
(2π)−3/2 eπi/4
R3|3
−1
¯
S(t,¯
x,θ,ξ,π)
.
F( ψ)(ξ, π)
x
¯B =q
¯ ξ, π) はそれぞれ、 Hamilton-Jacobi 方程式と連続の方程式の解、 F はスー
¯ ξ, π) と D(t, x¯, θ,
ここで、 S(t, x
¯, θ,
3|3
パー空間 R 上の関数に対する Fourier 変換である。
5
証明の概要
4.1
(1) “spinor” ψ(t, q) : R × R3 → C4 をスーパー偶関数 u(t, x, θ) : R × R3|3 → Cev と同一視する .
 
ψ1
 
ψ 2 
 →
C4 
ψ  ← u(θ) = u0 + u1 θ1 θ2 + u2 θ2 θ3 + u3 θ3 θ1
 3
ψ4
ここで、 R3|3 はスーパー空間、 uj−1 (t, x) は ψj (t, q) (j = 1, 2, 3, 4) の Grassmann 接続である。
(2) スピンをスーパー空間上のスーパー偶関数とし、 Dirac 行列はスーパー関数に働く微分作用素と見な
す変換で、偏微分方程式系 H(−i ∂x , θ, ∂θ ) は
H
∂
∂
, θ,
i ∂x
∂θ
= c θ3 +
∂
∂θ3
θ1 −
∂
∂
∂
∂
+ i θ1 +
∂θ1 i ∂x1
∂θ1 i ∂x2
∂
∂
∂
− θ2 −
+ mc2 θ3 +
∂θ2 i ∂x3
∂θ3
θ3 −
∂
,
∂θ3
となり、スーパー空間上の Dirac 方程式は
i
(2)
と表示される。更に、 H
∂
∂
∂
u(t, x, θ) = H
, θ,
u(t, x, θ)
∂t
i ∂x
∂θ
∂
∂
i ∂x , θ, ∂θ
の完全 Weyl 象表は
H(ξ, θ, π) = c(θ3 + i¯
k−1 π3 )[(ξ1 + iξ2 )θ1 − i¯
k−1 (ξ1 − iξ2 )π1 − ξ3 (θ2 − i¯
k−1 π2 )] − 2imc2 k
¯ −1 θ3 π3 .
ここで、 k
¯ = 0 は奇変数に関する Fourier 変換に際し勝手に導入した定数である。これが、 T ∗ R3|3 = R6|6 上
のスーパー Hamiltonian 関数である。
(3) そこで H(ξ, θ, π) に対応する古典力学の流れ (Hamilton Flow) を考察する：

∂H(t, x, ξ, θ, π)
d
∂H(ξ, θ, π)
d


,
ξk = −
= 0,
 dt xj =
∂ξj
dt
∂xk


 d θl = − ∂H(ξ, θ, π) , d πm = − ∂H(ξ, θ, π) .
dt
∂πl
dt
∂θm
即ち、 supersymplectic 行列 J を

0

−I3
J =
 0

0
として
I3
0
0
0
0
0
0
−I3

0

0 
 : R6|6 → R6|6 .
−I3 

0

∂x H(ξ, θ, π)


 ∂ξ H(ξ, θ, π) 


 ∂ H(ξ, θ, π) 

 θ
∂π H(ξ, θ, π)
 
x
 

d 
ξ  = J

dt 
θ 
π

ここで
  
x
x(0)
  

 ξ(0)   ξ 
  

 θ(0)  =  θ  .
  

π(0)
π

この古典力学の方程式を解いて、
t
S0 (t, x, ξ, θ, π) =
˙
{ x(s)|ξ(s)
˙
+ θ(s)|π(s)
− H(ξ(s), θ(s), π(s))}ds.
0
とし、以下のように定義する：
¯ π) = x|ξ + k
¯ −1 θ|π + S0 (t, x, ξ, θ, π)
S(t, x¯, ξ, θ,
6
¯
x=y(t,¯
x,ξ,θ,π)
¯
x,ξ,θ,π)
θ=ω(t,¯
.
¯ π) は
命題 3 自由 Dirac 方程式に対して、 S(t, x
¯, ξ, θ,
¯ π) = x
¯ + B(t)[2i
¯
¯|ξ + k
¯ −1 θ|π
k
¯ −1 mcθ¯3 π 3 + ( k
¯ −1 Ππ 3 )
S(t, x¯, ξ, θ,
¯ −1 − 1)(iθ¯3 Π + k
¯ − i¯
¯ −2 π 3 )]
+k
¯ (Θ
k−1 Π)(θ¯3 + i k
と具体的に計算される。ここで
¯ = A(t)
¯ δ¯−1 (t),
B(t)
a(t) =
sin 2νt
,
2|ξ|mc
b(t) =
1 − cos 2νt
,
4|ξ|2mc
ν = c¯
k −1 |ξ|mc ,
¯ = (ξ + iξ )θ¯1 − ξ θ¯2 ,
Θ
1
2
3
この関数は、
次に
¯ = 1 − 2b(t)|ξ|2 − 2imc A(t),
¯
δ(t)
¯ = a(t) − 2imcb(t),
A(t)
とおくと
かつ
Π = (ξ 1 − iξ 2 )π 1 − ξ 3 π 2 .
=k
¯ ならば Hamilton-Jacobi 方程式を
∂
 S(t, x¯, ξ, θ,
¯ π) + H
∂t

¯ π) = x
S(0, x
¯, ξ, θ,
¯|ξ
¯ π) =
D(t, x¯, ξ, θ,
|ξ|2mc = |ξ|2 + m2 c2
満たす :
∂S ¯ ∂S
, θ, ¯
∂x
¯
∂θ
¯
+ θ|π .

∂2S
∂x
¯ ∂ξ
3
(−1) sdet  ∂ 2 S
∂ θ¯ ∂ξ
= 0,

∂2S
∂x
¯ ∂π
,
∂2S
∂ θ¯ ∂π
命題 4
¯ π) = ( k
¯
¯ −1 )−3 δ(t).
D(t, x¯, ξ, θ,
であり、これは
=k
¯ のとき、以下の連続方程式を満たす :


 ∂ D + ∂ D ∂H + ∂ D ∂H
∂t
∂x
¯
∂ξ
∂π
∂ θ¯

D(0, x¯, ξ, θ,
¯ π) = 1.
= 0,
¯ π), 一方 Hξ と Hπ の独立変数は (Sx¯ , θ,
¯ S ¯) である。
上の表示で D の独立変数は (t, x
¯, ξ, θ,
θ
¯ π) から (¯
¯ ξ, π) に変える ) ı3 = e3πi/4 として
(4) (以降、量子化するときは独立変数の並べ方を (¯
x, ξ, θ,
x, θ,
¯ = (2π )−3/2 ı3 k
(U(t)u)(¯
x, θ)
¯ 3/2
¯ ξ, π)ei
dξdπD1/2 (t, x
¯, θ,
−1
¯
S(t,¯
x,θ,ξ,π)
Fu(ξ, π).
¯ = (U(t)u)(¯
¯ が方程式(2) の解となることが示される。
=k
¯ のとき、 u(t, x
¯, θ)
x, θ)
一方、 Fourier 変換を用いて
H
∂
∂
, θ,
i ∂x
∂θ
ˆ
=H
ˆ は表象 H(ξ, θ, π) をもつ：
となることが分る。ここで Weyl 型擬微分作用素 H
ˆ
(Hu)(x,
θ) = (2π )−3 ı23 k
¯3
dξdπdydω ei
−1
x−y|ξ +i¯
k−1 θ−ω|π
(6) Zitterbewegung の古典的対応物は次の定理で与えられる：
7
H ξ,
θ+ω
, π u(y, ω).
2
定理 5 各 j = 1, 2, 3, と ψ ∈ C0∞ (R3 : C)4 に対して
ei
−1
tH
−1
qˆj e−i
tH
H
H
ψ = qˆC,j
(t)ψ + qˆZ,j
(t)ψ = x
ˆC,j (t) ψ + x
ˆZ,j (t) ψ = x
ˆj (t) ψ.
H
H
ここで、 qˆj は qj の掛け算、 x
ˆj (t) は表象 xj (t, x, ξ, θ, π) をもつ R3|3 上の Weyl 型擬微分作用素、 qˆC,j
(t) と qˆZ,j
(t)
は
H
qˆC,j
(t) = qˆj + c2 pˆj H−1 t,
αj
c2 pˆj H
cα
−
sin(
|H|
|H|3
H
qˆZ,j
(t) =
−1
−1
t|H|) cos(
k=j
t|H|) + i
βα j
α k α j pˆk + dβ
|H|2
sin2 (
−1
t|H|).
作用素 x
ˆC,j (t) と xˆZ,j (t) の Weyl 表象は
xj (t, x, ξ, θ, π) = xC,j (t, x, ξ, θ, π) + xZ,j (t, x, ξ, θ, π),
と分解される。ここで、
xC,j (t, x, ξ, θ, π) = xj +
xZ,j (t, x, ξ, θ, π) =
sin(c
−1
t|ξ|mc ) cos(c
|ξ|mc
−1
t|ξ|mc )
tξ j
|ξ|2mc
H(ξ, θ, π),
ξ j H(ξ, θ, π)
αj −
c|ξ|2mc
+i
sin2 (c −1 t|ξ|mc )
|ξ|2mc
ξ k αk αj +dβαj ,
k=j
かつ、 αj , β は作用素 α j , β の Weyl 表象である。
A
4 × 4 行列の分解公式

b11

b21

b
 31
b41
b12
b22
b13
b23
b32
b42
b33
b43

b14

b24 
 = 1 (b11 + b22 + b33 + b44 )I4
b34 
 4
b44
1
1
β + (b14 + b23 + b32 + b41 )α
α1
+ (b11 + b22 − b33 − b44 )β
4
4
i
1
α 2 + (b13 − b24 + b31 − b42 )α
α3
+ (b14 − b23 + b32 − b41 )α
4
4
1
i
β α 1 + (b14 − b23 − b32 + b41 )β
βα 2
+ (b14 + b23 − b32 − b41 )β
4
4
1
i
β α 3 + (−b11 + b22 − b33 + b44 )α
α 1α 2
+ (b13 − b24 − b31 + b42 )β
4
4
1
i
α 1α 3 + (−b12 − b21 − b34 − b43 )α
α 2α 3
+ (−b12 + b21 − b34 + b43 )α
4
4
1
i
β α 1α 2 + (−b12 + b21 + b34 − b43 )β
β α 1α 3
+ (−b11 + b22 + b33 − b44 )β
4
4
i
i
β α 2α 3 + (−b13 − b24 − b31 − b42 )α
α 1 α 2α 3
+ (−b12 − b21 + b34 + b43 )β
4
4
i
β α 1α 2α 3 .
+ (−b13 − b24 + b31 + b42 )β
4
σ 3 , σ 2σ 3 = iσ
σ 1 , σ 3σ 1 = iσ
σ2 より
証明. σ 1σ 2 = iσ
0
σk
−σ
βαk =
α 3α 1 =
β α 3α 1 =
σ2
iσ
0
σ2
iσ
0
σk
0
0
σ2
iσ
0
σ2
−iσ
σ3
iσ
0
, α 1α 2 =
, β α 1α 2 =
σ3
iσ
, α 1α 2α 3 =
0
σ3
iσ
0
σ3
−iσ
0
0
iI2
iI2
0
8
, α 2α 3 =
, β α 2α 3 =
σ1
iσ
0
0
σ1
iσ
σ1
iσ
, β α 1α 2 α 3 =
0
,
0
σ1
−iσ
0
iI2
−iI2
0
,
.
後は単純な計算で求める式が得られる。
γk} を
注意 : Gamma 行列 {γ
βα k (k = 1, 2, 3),
γ k = −iβ
と定めると γ µγ ν + γ ν γ µ = 2δµν I4 であり



I4






γ

 µ
γ µγ ν (µ = ν)





γ µγ ν γ σ (µ = ν = σ = µ)




γ γ γ γ (all of µ, ν, σ, ρ are distinct)
µ ν σ ρ
γ4 = β
scalar
vector
anti-symmetric tensor
axial vector
pseudo-scalar
スーパー空間上の微分作用素としての表現:
 
ψ1
 

ψ2 
 →
C4 
ψ  ← u(θ) = u0 + u1 θ1 θ2 + u2 θ2 θ3 + u3 θ3 θ1
 3
ψ4
ここで uj−1 = ψj (j = 1, 2, 3, 4).
すると、スーパー空間上の微分作用素として

∂
∂
∂

α1 θ,
= θ3 +
θ1 −
,



∂θ
∂θ3
∂θ1




∂
∂
∂


= i θ3 +
θ1 +
,
α2 θ,
∂θ
∂θ3
∂θ1

∂
∂
∂


θ2 −
,
= − θ3 +
α3 θ,


∂θ
∂θ3
∂θ2




∂
∂

 β θ, ∂ = θ3 + ∂
θ3 −
= 1 − 2θ3
,
∂θ
∂θ3
∂θ3
∂θ3
とおくと

∂

 α1 θ,
∂θ

 α θ, ∂
3
∂θ
これより、



(



(






(







(






(



(





(






(






(







(





(
∂
ψ = α 2 ψ,
∂θ
∂
β θ,
ψ = β ψ.
∂θ
ψ = α 1 ψ,
α2 θ,
ψ = α 3 ψ,
β α 1 )(θ, ∂θ ) = (θ1 − ∂θ1 )(θ3 − ∂θ3 ),
β α 2 )(θ, ∂θ ) = i(θ1 + ∂θ1 )(θ3 − ∂θ3 ),
β α 3 )(θ, ∂θ ) = −(θ2 − ∂θ2 )(θ3 − ∂θ3 ),
α 1α2 )(θ, ∂θ ) = i(1 − 2θ1 ∂θ1 ),
α 1α 3 )(θ, ∂θ ) = (θ1 − ∂θ1 )(θ2 − ∂θ2 ),
α 2α 3 )(θ, ∂θ ) = i(θ1 + ∂θ1 )(θ2 − ∂θ2 ),
β α 1α 2 )(θ, ∂θ ) = i(1 − 2θ1 ∂θ1 )(1 − 2θ3 ∂θ3 ),
β α 1α 3 )(θ, ∂θ ) = (θ1 − ∂θ1 )(θ2 − ∂θ2 )(1 − 2θ3 ∂θ3 ),
β α 2α 3 )(θ, ∂θ ) = i(θ1 + ∂θ1 )(θ2 − ∂θ2 )(1 − 2θ3 ∂θ3 ),
α 1α 2α 3 )(θ, ∂θ ) = i(1 − 2θ1 ∂θ1 )(θ2 − ∂θ2 )(θ3 + ∂θ3 ),
β α 1α 2α 3 )(θ, ∂θ ) = −i(1 − 2θ1 ∂θ1 )(θ2 − ∂θ2 )(θ3 − ∂θ3 ).
9
これらの微分作用素に対応する Weyl 表象は


α1 (θ, π) = σw ( α 1 )(θ, π) = (θ3 + iπ3 )(θ1 − iπ1 ),





α2 (θ, π) = σw ( α 2 )(θ, π) = i(θ3 + iπ3 )(θ1 + iπ1 ),


α3 (θ, π) = σw ( α 3 )(θ, π) = −(θ3 + iπ3 )(θ2 − iπ2 ),




 β(θ, π) = σ ( β )(θ, π) = (θ + iπ )(θ − iπ ) = −2iθ π .
w
3
3
3
3
3 3
であり、これらの作用素の合成の表象は


σw ( β α 1 )(θ, π) = (θ1 − iπ1 )(θ3 − iπ3 ),






σw ( β α 2 )(θ, π) = i(θ1 + iπ1 )(θ3 − iπ3 ),






σw ( β α 3 )(θ, π) = −(θ2 − iπ2 )(θ3 − iπ3 ),







σw ( α 1α 2 )(θ, π) = −2iθ1 π1 ,






σw ( α 1α 3 )(θ, π) = (θ1 − iπ1 )(θ2 − iπ2 ),



σw ( α 2α 3 )(θ, π) = i(θ1 + iπ1 )(θ2 − iπ2 ),






σw ( β α 1α 2 )(θ, π) = 4iθ1 θ3 π1 π3 ,



σw ( β α 1α 3 )(θ, π) = −2i(θ1 − iπ1 )(θ2 − iπ2 )θ3 π3 ,







σw ( β α 2α 3 )(θ, π) = 2(θ1 + iπ1 )(θ2 − iπ2 )θ3 π3 ,






σw ( α 1 α2α 3 )(θ, π) = 2θ1 π1 (θ2 − iπ2 )(θ3 + iπ3 ),





σw ( β α 1α 2α 3 )(θ, π) = −2θ1 π1 (θ2 − iπ2 )(θ3 − iπ3 ).
問題： Dirac の導入した Clifford 関係式の行列表現には、 Standard(or Dirac-Pauli), Supersymmetric,
Weyl(or spinor), Majorana 等の色々な表現がある。これらを、スーパー空間上の微分作用素の変数変換公式と
して理解できないものか？
B
自由 Weyl 方程式
C2
ψ1
ψ2
→ u(θ) = u0 + u1 θ1 θ2 ∈ Cev
←
ここで
u0 = ψ 1 , u1 = ψ 2 .
λ ∈ C× = C − {0} を任意に導入した定数として
∂2
,
∂θ1 ∂θ2
σ1
i
θ,
λ
λ ∂
i ∂θ
= iλ−1 θ1 θ2 + λ2
σ2
i
θ,
λ
λ ∂
i ∂θ
= −λ−1 θ1 θ2 − λ2
σ3
i
θ,
λ
λ ∂
i ∂θ
= 1 − θ1
∂2
,
∂θ1 ∂θ2
∂
∂
− θ2
.
∂θ1
∂θ2
注意： |λ| = 1 のとき、 { σj (θ, −iλ∂θ ) } はユニタリ行列で、特に λ = i なるとき通常の Pauli 行列になる。
また、 k
¯ ∈ R× 或いは ∈ iR× (R× = R − {0}) を奇変数に関する Fourier 変換に導入された任意の定数と
して、 Weyl 方程式に対する表象が
H(ξ, θ, π) = icλ−1 (θ1 θ2 − λ2 k
¯ −2 π1 π2 )ξ1 − cλ−1 (θ1 θ2 + λ2 k
¯ −2 π1 π2 )ξ2 − ic¯
k −1 (θ1 π1 + θ2 π2 )ξ3
= icλ−1 (ξ1 + iξ2 )θ1 θ2 − icλ¯
k −2 (ξ1 − iξ2 )π1 π2 − ic¯
k −1 ξ3 (θ1 π1 + θ2 π2 ).
10
Hamilton flows:
ここで、
d
dt ξj

d


x1 = icλ−1 (θ1 θ2 − λ2 k
¯ −2 π1 π2 ) = cσ1 (θ, π),


dt


d


−1
2 −2

¯ π1 π2 ) = cσ2 (θ, π),
 x2 = −cλ (θ1 θ2 + λ k

dt




d


x3 = −ic¯
k−1 (θ1 π1 + θ2 π2 ) = cσ3 (θ, π),



dt



d


 ξj = 0 但し j = 1, 2, 3,
dt
d


 θ1 = icλ¯
k −2 (ξ1 − iξ2 )π2 − ic¯
k−1 ξ3 θ1 ,


dt




d

 θ2 = −icλ¯
k−2 (ξ1 − iξ2 )π1 − ic¯
k −1 ξ3 θ2 ,


dt




d


π1 = −icλ−1 (ξ1 + iξ2 )θ2 + ic¯
k −1 ξ3 π1 ,


dt





 d π2 = icλ−1 (ξ1 + iξ2 )θ1 + ic¯
k−1 ξ3 π2 .
dt
= 0, i.e. ξj (t) = ξ j がポイント！
上式を書き直すと、

 
θ1
θ1
 
 



θ
d 
 2  = icX  θ2 




dt π1 
π1 
π2
π2

ここで

−¯
k −1 ξ3
0


X=

0

−1
λ (ξ1 + iξ2 )

  
θ1 (0)
θ1

  
 θ2 (0)   θ2 

  
π (0) = π  .
1

  1
π2 (0)
π2
ここで

0
λ¯
k −2 (ξ1 − iξ2 )


−λ¯
k−2 (ξ1 − iξ2 )
0
.

−1
k
¯ ξ3
0

0
k
¯ −1 ξ3
0
−¯
k−1 ξ3
−λ−1 (ξ1 + iξ2 )
0
X2 = k
¯ −2 |ξ|2 I4 となるから
eictX = cos(c¯
k −1 t|ξ|)I4 + i¯
k|ξ|−1 sin(c¯
k −1 t|ξ|)X.
以降、 η = ξ 1 + iξ 2 , η¯ = ξ 1 − iξ 2 という記号を使う。
一方、
σ1 (t) = iλ−1 (θ1 (t)θ2 (t) − λ2 k
¯ −2 π1 (t)π2 (t)),
σ2 (t) = −λ−1 (θ1 (t)θ2 (t) + λ2 k
¯ −2 π1 (t)π2 (t)),
σ3 (t) = −i¯
k−1 (θ1 (t)π1 (t) + θ2 (t)π2 (t)),
とおき、 t に関して微分して
 
 
σ1
σ1
d  
−1  
k Y σ2 
σ2  = 2c¯
dt
σ3
σ3
ここで

0

Y =  ξ3
−ξ2
−ξ3
0
ξ1
ξ2


−ξ1  .
0
これより、

−ξ32 − ξ22

2
Y =  ξ1 ξ2
ξ1 ξ3
ξ2 ξ1
−ξ32 − ξ12
ξ3 ξ1
ξ3 ξ2
ξ2 ξ3
−ξ22 − ξ12
11



かつ
Y3 = −|ξ|2 Y,
となるから、
e2c¯k
−1
= I3 + |ξ|−1 sin(2c¯
k −1 t|ξ|)Y + |ξ|−2 (1 − cos(2c¯
k −1 t|ξ|))Y2 .
tY
即ち、「行列構造」は以下のように「変化」する。
σ1 (s) = σ 1 + sin(2c¯
k−1 s|ξ|)|ξ|−1 (−ξ 3 σ 2 + ξ 2 σ 3 )
+ (1 − cos(2c¯
k −1 s|ξ|))|ξ|−2 − (ξ 22 + ξ 23 )σ 1 + ξ 1 ξ 2 σ 2 + ξ 1 ξ 3 σ 3 ,
k−1 s|ξ|)|ξ|−1 (ξ 3 σ 1 − ξ 1 σ 3 )
σ2 (s) = σ 2 + sin(2c¯
+ (1 − cos(2c¯
k −1 s|ξ|))|ξ|−2 ξ 1 ξ 2 σ 1 − (ξ 21 + ξ 23 )σ 2 + ξ 2 ξ 3 σ 3 ,
k−1 s|ξ|)|ξ|−1 (−ξ 2 σ 1 + ξ 1 σ 2 )
σ3 (s) = σ 3 + sin(2c¯
+ (1 − cos(2c¯
k −1 s|ξ|))|ξ|−2 ξ 1 ξ 3 σ 1 + ξ 2 ξ 3 σ 2 − (ξ 21 + ξ 22 )σ 3 .
C
Miscellaneous
E, E1 , E2 ∈ C
/ SS,ev (T ∗ Rm|n ) と O, O1 , O2 ∈ C
/ SS,od (T ∗ Rm|n ) に対して、次数付き (graded) Poisson 括弧
{{, }} を以下のように定める：

m
n
∂E1 ∂E2
∂E2 ∂E1


{
{E
,
E
}
}
=
+
−

1
2


∂xj ∂ξj
∂xj ∂ξj

j=1
k=1




m
n

∂E ∂O
∂O ∂E
∂E
{{E, O}} =
−
+
∂xj ∂ξj
∂xj ∂ξj
∂θk


j=1
k=1



n
m


∂O2 ∂O1
∂O1 ∂O2


+
−
{
{O
,
O
}
}
=

1
2

∂xj ∂ξj
∂xj ∂ξj
j=1
k=1
∂E1 ∂E2
∂E2 ∂E1
,
−
∂θk ∂πk
∂θk ∂πk
∂O
∂O ∂E
+
,
∂πk
∂θk ∂πk
∂O2 ∂O1
∂O1 ∂O2
+
.
∂θk ∂πk
∂θk ∂πk
すると、 H∈C
/ SS,ev (T ∗ Rm|n ) から定まる古典力学は

 d ϕ(t) = {{ϕ(t), H}},
dt

ϕ(0) = ϕ(X, Ξ)
によって支配される。ここで、 ϕ ∈ C
/ SS (T ∗ Rm|n ) であり、特性曲線の方法で ϕ(t) = ϕ(X(t), Ξ(t)) となる：
X(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t), θ1 (t), θ2 (t), θ3 (t)),
Ξ(t) = (ξ1 (t), ξ2 (t), ξ3 (t), π1 (t), π2 (t), π3 (t)),
xj (t) = xj (t, x, ξ, θ, π), θk (t) = θk (t, x, ξ, θ, π),
etc
X = X(0) = (x, ξ, θ, π), Ξ = Ξ(0) = (x, ξ, θ, π).
Fourier 変換を用いて、



¯3
x
ˆj u(x, θ) = (2π )−3 ı23 k








−3 2 3

ˆ

¯
 ξk u(x, θ) = (2π ) ı3 k



θˆl u(x, θ) = (2π )−3 ı23 k
¯3









ˆm u(x, θ) = (2π )−3 ı23 k
¯3
π
xj + x j
u(x , θ ),
2
dξdπdx dθ ei
−1
x−x |ξ +i¯
k −1 θ−θ |π
dξdπdx dθ ei
−1
x−x |ξ +i¯
k −1 θ−θ |π
ξk u(x , θ ),
dξdπdx dθ ei
−1
x−x |ξ +i¯
k −1 θ−θ |π
θl + θ l
u(x , θ ),
2
dξdπdx dθ ei
−1
x−x |ξ +i¯
k −1 θ−θ |π
πm u(x , θ )
R3|3 ×R3|3
R3|3 ×R3|3
R3|3 ×R3|3
R3|3 ×R3|3
12
と定めると、
x
ˆj u(x, θ) = xj u(x, θ),
θˆl u(x, θ) = θl u(x, θ),
∂
u(x, θ) 但し j, k = 1, 2, 3,
i ∂xk
k
¯ ∂
u(x, θ) 但し l, m = 1, 2, 3.
π
ˆm u(x, θ) =
i ∂θm
ξˆk u(x, θ) =
これより、
[ξˆk , x
ˆ j ]− =
ˆ を
作用素 Aˆ の偶奇 p(A)

p(A)
ˆ =1
p(A)
ˆ =0
i
δjk ,
k
¯
[ˆ
πm , θˆl ]+ = δlm .
i
ˆ がスーパー関数の偶奇を変える作用素,
もしA
ˆ がスーパー関数の偶奇を変えない作用素
もしA
とし、次数付き交換子 (graded commutator) [[·, ·]] を
ˆ
ˆ
ˆ B]]
ˆ = AˆB
ˆ − (−1)p(A)p(B) B
ˆ A,
ˆ
[[A,
(3)
と定める。すると、 SCCR(=super canonical commutation relation) が求まる：
ˆ J )p(Ξ
ˆK)
1−p(X
ˆK , X
ˆ J ]] =
[[Ξ
k
¯
i
i
ˆ J )p(Ξ
ˆK)
p(X
δJK
但し
J, K = 1, · · · , 6.
H ξ,
θ+θ
, π u(x , θ ),
2
更に
ˆ
Hu(x,
θ) = (2π )−3 ı23 k
¯3
dξdπdx dθ
R3|3 ×R3|3
× ei
α
ˆ j u(x, θ) = ı23 k
¯3
ˆ
βu(x,
θ) = ı23 k
¯3
−1
x−x |ξ +i¯
k −1 θ−θ |π
dπdθ ei¯k
−1
θ−θ |π
−1
θ−θ |π
R0|3 ×R0|3
dπdθ ei¯k
R0|3 ×R0|3
θ+θ
, π u(x, θ ),
2
θ+θ
β
, π u(x, θ ).
2
αj
Fermion の量子化： Liouville から Heisenberg へ

 d ϕ(t) = {{ϕ(t), H}},
dt

ϕ(0) = ϕ(X, Ξ),

i d ϕˆH (t) = [[ϕˆH (t), H]],
ˆ
量子化
dt
−→
 H
ϕˆ (0) = ϕ.
ˆ
上式が Fermion に対応する Heisenberg 描像であり、前に述べた解の経路積分表示が Feynman の求められな
かったものである。４元数を使うという Feynman の考え方の方向性はそれ程間違っていなかったとも言える
が、可算無限個の生成元 {σj } を用いたスーパー数 R, C の導入の必然性は考えつかなくても当然であろう。
参考文献
[1] F.A. Berezin and M.S. Marinov, Particle spin dynamics as the Grassmann variant of classical mechanics,
Ann.of Physics 104(1977), pp. 336-362.
[2] R. Casalbuoni, On the quantization of systems with anticommuting variables, Nuovo Cimento A
33(1976), pp. 115-125.
[3]
, The classical mechanics for Bose-Fermi systems, Nuovo Cimento A 33(1976) pp. 389-431
13
[4] R. Feynman and A.R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, New York, McGraw-Hill Book
Co.(1965).
[5] J. L. Martin, Generalized classical dynamics, and ‘classical analogue’ of a Fermi oscillator,
Proc.Roy.Soc. A 251(1959), pp. 536-542.
[6]
The Feynman principle for a Fermi system, Proc.Roy.Soc. A 251(1959), pp. 543-549.
[7] B. Thaller, The Dirac Equation, Springer-Verlag, Texts and Monographs in Physics, Berlin, 1992.
[8] 朝永振一郎, 「スピンはめぐる —成熟期の量子力学」 , 中央公論社自然選書, 東京, 1974.
[9] 西島和彦, 「相対論的量子力学」 , 培風館新物理学シリーズ 13, 1973.
14

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