確率･統計Ⅰ

確率･統計Ⅰ
第3回確率変数の平均
ここです！
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確率変数と確率分布
確率変数の同時分布、独立性
確率変数の平均
確率変数の分散
確率変数の共分散
ベルヌイ試行、二項分布
二項分布（続き）、幾何分布
ポアソン分布
正規分布
正規分布（続き）
大数の法則、中心極限定理
統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係）
統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定）
確率変数の平均
1. 確率変数の平均の定義
2. 確率変数の平均の性質(1)(2)(3)
離散型確率変数の平均
X の確率分布を P( X = xi ) = pi としよう。
X の平均 E(X) =
x  p
i
i
期待値の略
i
「平均」の概念
x1 , x2 ,, xn の平均
x1  x2    xn
と思っていたら小学
生！ n
1
1
1
x1  x2    xn
n
n
n
つまり、 x1 , x2 ,, xn のそれぞれに1/nず
つの重み（重みの和=1）をつけて合計
「平均」の概念
x1 , x2 ,, xn の平均（重みつき）
1
1
1
x1  x2    xn
n個全部同じ重みなら
n
n
n
x1 , x2 ,, xn のそれぞれに異なる重み（重
みの和=1）をつけて合計
m1 x1  m2 x2    mn xn
「平均」の概念
x1 , x2 ,, xn の重みつき平均
m1 x1  m2 x2    mn xn
ただし、 m1 + m2 +
・・・
+ mn = 1
「平均」の概念
x1 , x2 ,, xn の重みつき平均
m1 x1  m2 x2    mn xn
ただし、 m1 + m2 +
・・・
+ mn = 1
例 a と b を結ぶ線分を m : n に内分する位置ベクトルは
a
m
n
b
na  mb
mn
n
m

a
b
mn
mn
確率変数の平均
確率変数 X のとりうる値すべて x1 , x2 ,, xn
に関する確率重みつき平均
m1 x1  m2 x2    mn xn
↑
↑
↑
P(X=x1) P(X=x2)
X の平均 E(X) =
 x  P( X  x )
i
i
期待値の略
P(X=xn)
i
離散型確率変数の平均
 x  P( X  x )   x p
E(X) =
i
i
i
i
i
i
連続型確率変数の平均
E(X) =



x  P( x  X  x  dx)

  x  f ( x)dx

確率密度
確率変数の平均
1. 確率変数の平均の定義
2. 確率変数の平均の性質(1)(2)(3)
平均の性質(1)
特に、 X の一次式で与えられる確率
変数の平均については、次の式が成
り立つ：
E(aX  b)  aE( X )  b
平均の性質(1)の証明
X の確率分布を P( X = xi ) = pi としよう。
E(aX+b) = Σ(axi+b) pi
= aΣxi pi + bΣpi
= aE(X) + b
平均の性質(1)
例：サイコロを1回投げ、(出た目の数×2)－3 を Y とする。
Y の平均 E(Y) を求めよ。
Y
-1
確率 1/6
1
3
5
7
9
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
を使わなくても、出た目X の平均 E(X)=3.5 を用いて
E(Y )  E(2 X  3)
 2E( X )  3  3.5  2  3  4
平均の性質(2)
2つの確率変数 X と Y の和 X+Y の
平均について、次の式が成り立つ：
E( X  Y )  E( X )  E(Y )
平均の性質(2)
したがって、n個の確率変数 X1,…Xn
の和の平均については、
E( X1  X 2    X n )
 E( X1 )  E ( X 2 )    E ( X n )
平均の性質(2)
例：サイコロを10回投げ、出た目の数の和を Y とす
る。Y の平均 E(Y) を求めよ。
i 回目に出る目の値を Xi とすると、 E( Xi )=3.5 だから、
E(Y )  E( X1  X 2   X10 )
 E( X1 )  E( X 2 )   E( X10 )
 3.5  10  35
平均の性質(2)の証明
2つの確率変数を同時に考える場合でも、
E(X) は X の分布 ai からΣxi ai のように
計算してよい。
x1 倍 x2 倍
x2
r 12
r 22
r 32
r 42
…
= Σxi ai
y1
y2
y3
y4
x1
r 11
r 21
r 31
r 41
…
= Σxi Σrik
X
…
E(X) = ΣΣxi rik
Y
計
a1
a2
a1x1
…
…
…
…
…
…
a2x2
平均の性質(2)の証明
E(X+Y) = ΣΣ(xi+yk) rik
= ΣΣxi rik + ΣΣyk rik
= Σxi Σrik + Σyk Σrik
= Σxi ai +Σyk bk
= E(X) + E(Y)
平均の性質(3)
X,Y が独立ならば
E(XY) = E(X) E(Y)
証明
E(XY) = ΣΣ(xi yk) rik
= ΣΣ xi yk ai bk
= Σxi ai Σyk bk
= E(X) E(Y)
平均の公式（まとめ）
① E( aX + b ) = aE(X) + b
② E( X + Y ) = E(X) + E(Y)
③ X と Y が独立ならば、
E(XY) = E(X) E(Y)
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