宇宙天体セミナーⅡ - Omega

11/12/13
宇宙天体セミナーⅡ
2011/12/13
At研片岡明日香
目次
•  §10.4 Friedmann 方程式 •  §10.5 宇宙の要素 / 宇宙黒体放射
•  §10.6 物質優勢の宇宙の進化
10.6.1 閉じた解（k=+1）
10.6.2 開いた解（k=-1）
10.6.3 宇宙初期の近似解
10.6.4 宇宙の年齢
•  §10.7 放射優勢の宇宙の進化
スケールファクターaの時間進化を解く。
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§10.4 Friedmann 方程式
Newton力学
1
質量当りの運動エネルギー 2 a!
球対称
2
質量当りのポテンシャルエネルギー
全力学エネルギー
一様膨張宇宙の中心
§10.4 Friedmann 方程式
R-Wメトリック → Einstein方程式（§14.1）
§14.1で、R-WメトリックをEinstein方程式
に代入すると出てくるエネルギー。
k：曲率 (+1,0,-1) この２つを組み合わせると・・・
Friedmann方程式
(Friedmann, 1924)
§14で一般相対論から導く。
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§10.4 Friedmann 方程式
宇宙定数
Einstein方程式に追加される項で、宇宙の加速を引き起こす。 (Einstein, 1917) 遠く離れた超新星のデータ → 宇宙は加速している！（§14.5）
Friedmann方程式に宇宙定数の項を追加する必要
だが、
宇宙定数は、年齢とともに重要となる。
現在は、宇宙定数の項と他の項が同じくらい。（§14.2）
宇宙初期では考えなくて良い。
この章では、宇宙定数=０を仮定
§10.4 Friedmann 方程式
E>0（k=-1）永遠に膨張、無限大、無限に続く
E<0（k=+1）最終的に重力の引力で収縮、有限体積、有限時間
宇宙の密度で決まる
k=0となる密度：臨界密度
密度パラメータ
ρ<ρc ・・・ k=-1、永遠に膨張
ρ>ρc ・・・ k=+1、最終的に収縮
Friedmann方程式・・・
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§10.4 Friedmann 方程式
ρ=ρ(a)として積分できる。
k＝0の場合
k＝±1の場合変数ηを定義
R-Wメトリック
Friedmann方程式を書き換えると、
・（ドット）：時間微分
§10.4 Friedmann 方程式
ー (★)
ρ=ρ（a） → a=a(η) → a=a(t)
§10.5
§10.6
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§10.5 宇宙の要素 / 宇宙黒体放射
エネルギー密度ρc2を満たす流体を考える。
流体の圧力
全内部エネルギー ρc2a3
断熱膨張を仮定
熱力学第１法則より、
気体運動論
非相対論的
相対論的
v：分子の速度
§10.5 宇宙の要素 / 宇宙黒体放射
物質
輝く星の密度パラメータ
物質の密度パラメータ
DMの存在（§9.2.2、§9.5）
CMBの観測（§14.5）
現在の物質の密度
スケールファクターaの時の物質密度
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§10.5 宇宙の要素 / 宇宙黒体放射
CMBR：宇宙マイクロ波背景放射
ビッグバン：密度、温度は無限大。
宇宙初期：物質と平衡状態を保った放射で満たされている。黒体放射。
再結合期（§11.7）：放射と物質の平衡状態が終わる。
その後：放射は物質との相互作用を止め、断熱膨張を続ける。
膨張によって温度は減少するが、黒体放射のまま残っている。
・この黒体放射バックグランドを最初に~10Kと予測した。 : Alpher, Herman (1948)
・ 3Kの放射を偶然観測した。：Penzias, Wilson (1965)
§10.5 宇宙の要素 / 宇宙黒体放射
CMBR：宇宙マイクロ波背景放射
宇宙は高温のビッグバンから始まった。: Lemaitre (1927) 有力な証拠となった
COBE(Cosmic Background Explorer) (1989)
↑
光
度
周波数→
一致する！
Planckのスペクトル
←波長
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§10.5 宇宙の要素 / 宇宙黒体放射
CMBR：宇宙マイクロ波背景放射
黒体放射のエネルギー密度：U=aBT4
CMBRの宇宙の密度への寄与
相対論的成分には、ニュートリノを含む。（§11.4）
全放射密度
相対論的な場合
温度はスケール
の逆数で落ちる。
§10.5 宇宙の要素 / 宇宙黒体放射
宇宙の全密度
現在
放射の密度＝物質の密度のスケール：aeq
値を代入
a<aeq：放射優勢期 → ρ=ρR
a>aeq：物質優勢期 → ρ=ρM
と近似して、Friedmann方程式を解いていく。
→ §10.6
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§10.6 物質優勢の宇宙の進化
k＝0の場合
密度＝臨界密度
解
k＝±1の場合
ー (★)
を用いる。
§10.6.1 閉じた解（k=+1）
ΩM,0 > 1
より
× H0 = c / a0(ΩM,0-1)1/2
ΩM,0 ΩM,0 -1
間接的に、aをtの関数とできた。
η→2π, a→0
宇宙はビッグクランチに行き着く。
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§10.6.2 開いた解（k=-1）
ΩM,0 < 1
§10.6.1 と同様にして、
スケールファクターの時間進化
↑
a/a0
現在は、
k=-1
k=0
k=-1が適切？
k=+1
曲率を決めるには、
宇宙定数の寄与も考える必要がある。
t →
§10.6.3 初期の近似解
η<<1, 物質優勢期
Taylor展開より
ηを消去
∝t2/3
a=a0の時t=t0
η<<1, 物質優勢期
ビッグバンから
数千年後初期も有効
zとtの関係
等密度時
t0~1010yr
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§10.6.4 宇宙の年齢
宇宙の年齢の近似式
ΩM,0< 1
ΩM,0が大きくなる。
→強く減速する。
（現在の膨張率は同じ。）
→初期の膨張率が大きくなる必要。
→年齢が若い。
ΩM,0 > 1
ΩM,0 = 1
↑
H0t0
より、 t0~2/3H0-1
ΩM,0→
§10.7 放射優勢の宇宙の進化
Friedmann方程式
放射の項はa-4、曲率の項はa-2に比例する。
初期には、曲率項は無視できる。
CMBRの温度Tとaの関係
ρR,0=ργ,0=aB/c2 T04
k=0
解
∝t1/2
c, aB, Gを代入
相対論的粒子を光子のみとした場合
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§10.7 放射優勢の宇宙の進化
K → eV
黒体放射の光子が持つエネルギー： E=kBT
光子が時刻tでもつエネルギーの目安
t →0 で曲率項を本当に無視して良い？
t→0→Ω→1
→ k→ 0
a∝t1/2
曲率項は無視できる！
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