解答

解
数学検定第２５５回準１級２次：数理技能検定
問題１
答
Ｊ１−２−１
点Ｐの座標を（x ，y ）とする。ＡＰ：ＢＰ＝ m：n より
nＡＰ＝ mＢＰ
n 2ＡＰ2 ＝m 2ＢＰ2
2
2
2
2
n｛
（ x −a ）＋ y 2 ｝＝ m｛
（ x −b ）＋ y 2 ｝
（m 2 −n 2）x 2 −２（bm 2 −an 2 ）x ＋（m 2 −n 2）y 2 ＝a 2n 2 −b 2m 2
bm 2 − an 2
a 2n 2 − b 2m 2
y2 ＝
x 2 −２ 2
2 x ＋
m −n
m2 − n2
2
bm 2 − an 2
mn（ b −a ）
x − ＋ y2 ＝
2
2
m2 − n2
m −n
2
mn（ b −a ）
bm 2 − an 2
以上より，点Ｐの軌跡は中心，０，半径の円である。
2
2
m2 − n2
m −n
問題２
ＰＨ n より
⑴ （答の例） n ＝（a ，b ）
｜ＰＨ｜＝
⑵ Ｈの座標を（x ，y ）とすると
ＰＨ＝（x −x 1 ，y −y 1 ）
｜n｜
ここで，｜ＰＨ｜＝d ，｜n｜＝ a 2 ＋ b 2 ，
ＰＨ・n ＝a（x −x 1）＋b（y −y 1）
ax ＋by ＝− c より
｜ax 1 ＋by 1 ＋c｜
d ＝
a2 ＋ b2
＝ax ＋by −（ax 1＋by 1）
問題３
｜ax ＋by −（ax 1＋by 1）
｜
⑴ n ≧２のとき，二項定理より
2
（１＋ h ）＝１＋ nＣ1 h ＋nＣ2 h ＋ … ＋nＣn h
n（ n −１）
n（ n −１）
n
＝１＋ nh ＋ h 2 ＋ … ＋h ＞ h 2
２
２
n
n
１
⑵ ０＜ x ＜１のとき，x ＝とおくと，０＜ x ＜１より，h ＞０である。
１＋h
１
２
⑴よりだから
n ＜ n（ n −１）h 2
（１＋ h ）
２
２
１
nx n ＝ n ＜ n・ 2 ＝
n（ n −１）h
（ n −１）h 2
１＋h
２
すなわち，０＜nx n ＜
（ n −１）h 2
２
nx n ＝０
lim ＝０であるから，はさみうちの原理より，
lim
n →∞（ n −１）
n →∞
h2
n
問題４
2
（AX ）＝A（−XA ）
⑴ A X ＝A
＝−（AX ）A ＝−（−XA ）A
＝XA
2
2
2
⑴より，A X ＝XA であるから
（a ＋d ）AX −（ad −bc ）X
＝（a ＋d ）XA −（ad −bc ）X
（a ＋d（AX
）
−XA ）＝O
⑵ ケーリー・ハミルトンの定理より，E を単
位行列とすると
2
A ＝（a ＋d ）A−（ad −bc ）E
（a ＋d（AX
）
＋AX ）＝O
すなわち，a ＋d ＝０または AX ＝O が成り
立つ。
Ｈ２６２３Ｇ０８
Ｊ１−２−２
問題５
次のような人数配置をとると，最も効率よく１時間で３６０個の製品を完成することができる。
工程
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
人数（人）
２
６
３
６
２
３
しかし，このとき従業員は２２人必要である。ここから２人減らすとき，１人が１分当たりに取
り付けることのできる部品の個数が少ないＢとＤの工程から１人ずつ減らすのが，最も効率のよい
やり方である。このときの人数配置は
工程
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
人数（人）
２
５
３
５
２
３
であり，完成する製品数の最大値は，３００個である。
問題６
x 2 −px ＋ pq ＝ qx を解くと
x 2 −
（p ＋q ）x ＋ pq ＝０
（x −p（x
） −q ）＝０
より，x ＝ p ，q
k を q ≦ k ≦ p を満たす正の整数とすると，x ＝k 上の格子点で，放物線と直線に囲まれた部分に
含まれるものの個数は
qk −（k 2 − pk ＋pq ）＋１＝−k 2 ＋（ p ＋q ）k −pq ＋１
以上より，求める個数は
p
｛−k 2 ＋（ p ＋q ）k −pq ＋１｝
k ＝q
q ２q −１）−p（ p ＋１）
（q −１）
（
（２p ＋１）
＝
６
p ＋q
＋｛ p（ p ＋１）−（q −１）q ｝＋（１−pq（
）p −q ＋１）
２
１
＝（ p −q ＋１）
（ p 2 ＋ q 2 −２pq − p ＋q ＋６）
６
１
（ p 2 ＋ q 2 −２pq − p ＋q ＋６）
（答）（ p −q ＋１）
６
問題７
⑴ f（x ）＝− sin x ，f（x ）＝− cos x ，
f （x ）＝ sin x ，f（4）
（x ）＝cos x より
f（０）＝０，f（０）＝−１，
f （０）＝０，f（4）
（０）＝１
であるから，求める近似式は
１
０
１
１＋０・x − x 2 ＋ x 3 ＋ x 4
２!
３!
４!
すなわち
１
１
f（x ）≒１− x 2 ＋ x 4
２
２４
⑵ x ＝０.５を代入して
１
１
2
4
１− ×０.５＋ ×０.５
２
２４
＝１−０.１２５＋０.００２６０…
＝０.８７７６０…
すなわち
cos０.５≒０.８７７６
（答） cos０.５≒０.８７７６
１
１
f ）≒１− x 2 ＋ x 4
（答）（x
２
２４
Ｈ２６２３Ｇ０８

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