数学 A2 §3 微分方程式 (2)

数学 A2
§3 微分方程式 (2)
d2 x
dx
+ φ(t) + ψ(t)x = f (t) の形に表される微分方程式を, 2 階線形とよぶ. とくに,
2
dt
dt
f (t) = 0 のとき斉次であるといい, 次が知られている.
3.1. ２階線形.
d2 x
dx
+ φ(t) + ψ(t)x = 0
2
dt
dt
の解であるならば, 任意の定数 C1 , C2 について x = C1 x1 + C2 x2 も解である. 特に, x1 , x2 の一方が
他方の定数倍でないとき, 一般解を与える.
命題 3.1 (重ね合わせの原理). x = x1 (t), x = x2 (t) が斉次線形微分方程式
注. x1 , x2 の一方が他方の定数倍になるとき, 線形従属といい, そうでないとき線形独立であるという.
d2 x
dx
+a
+ bx = 0 (ただし a, b は定数) を考える. 解の候補とし
2
dt
dt
て x = eλt (λ は定数) を代入すると, (λ2 + aλ + b)eλt = 0 ⇒ λ2 + aλ + b = 0
こうして得られた２次方程式を, 特性方程式とよぶ.
(I) 特性方程式が相異なる２実数解 λ1 , λ2 をもつ場合: x = eλ1 t , x = eλ2 t は線形独立な解であるか
ら, 一般解は x = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t
3.2. 定数係数斉次２階線形.
例 3.2.
d2 x
dx
−
3
+ 2x = 0 の一般解は x = C1 et + C2 e2t
dt2
dt
(II) 特性方程式が相異なる２重解 λ0 をもつ場合: 解 x = Ceλ0 t に定数変化法を行う. x = u(t)eλ0 t と
おき代入すると, u(t) = C1 t + C2 . ゆえに一般解は x = (C1 t + C2 )eλ0 t
例 3.3.
d2 x
dx
+ 6 + 9x = 0 の一般解は x = (C1 t + C2 )e−3t
2
dt
dt
(III) 特性方程式が相異なる２虚数解 p ± qi をもつ場合: 複素数で考えれば x = K1 e(p+qi)t + K2 e(p−qi)t
が一般解. Euler の公式 eiθ = cos θ + i sin θ により, 実数での一般解は x = ept (C1 cos qt + sin qt)
例 3.4.
d2 x
dx
+ 2 + 2x = 0 の一般解は x = e−t (C1 cos t + C2 sin t)
2
dt
dt
3.3. 定数係数非斉次２階線形. (*)
d2 x
dx
+ a + bx = f (t) の 1 つの解を xs , 対応する斉次形
2
dt
dt
dx
d2 x
+
a
+ bx = 0 の線形独立な解を x1 , x2 とするとき, (*) の一般解は x = xs + C1 x1 + C2 x2 で表
dt2
dt
される. つまり, 非斉次の場合は特殊解を 1 つ見つければよい.
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非斉次線形の特殊解の例
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•
•
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f (t) = α (定数), b ̸= 0 のとき, xs = A の形の解がある.
f (t) = αt + β, b ̸= 0 のとき, xs = At + B の形の解がある.
f (t) = αeβt , β 2 + aβ + b ̸= 0 のとき, xs = Aeβt の形の解がある.
f (t) = α cos kt + β sin kt, b ̸= k 2 , a ̸= 0 のとき, xs = A cos kt + B sin kt の形の解がある.
2
例 3.5.
d x dx
−
− 6x = 12 の一般解は, x = −2 + C1 e−2t + C2 e3t
2
dt
dt
例 3.6.
dx
1 3t
d2 x
3t
+
2
+
x
=
8e
の一般解は
,
x
=
e + (C1 t + C2 )e−t
dt2
dt
2
1
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