Blatt 5 - Mathematisches Institut

Übungen zur Vorlesung
Analysis für Informatiker und Lehramt
Abgabetermin: Fr. 18.11.2016 bis 11:00 Uhr
Abgabeort: Postfach Radl in Zimmer A 514
Mathematisches Institut
Universität Leipzig
Agnes Radl
Blatt 5
Aufgabe 1
(a) Zeigen Sie mit Hilfe des
-Kriteriums für Konvergenz (Definition II.1.3 der Vorle ε-N
1
gegen 0 konvergiert.
sung), dass die Folge √n
n∈N
√
√ (b) Konvergiert die Folge
n + 1 − n n∈N ? Falls ja, was ist der Grenzwert? Begründen
Sie Ihre Antworten.
Aufgabe 2
√
√
Sei a ∈ R, a > 0. Zeigen Sie, dass die Folge ( n a)n∈N konvergiert und limn→∞ n a = 1 gilt.
(Hinweis: Falls a > 1, definiere man für n ∈ N
√
xn := n a − 1.
Wenden Sie die Bernoullische Ungleichung auf (1 + xn )n an, und zeigen Sie damit, dass
(xn )n∈N eine Nullfolge bildet. Den Fall 0 < a < 1 können Sie dann auf den schon bewiesenen Fall zurückführen.)
Aufgabe 3
Betrachten Sie die Folgen (xn ) ⊆ R, wobei
(a) xn =
1
,
n!
(b) xn =
Pn
k
k=1 n2 ,
Qn
1
1
+
,
k=1
k
n
(d) xn = 1 − n12 , (Hinweis: Bernoullische Ungleichung, Satz I.4.5).
(c) xn =
Welche dieser Folgen konvergiert? Im Falle von Konvergenz berechnen Sie den Grenzwert.
Begründen Sie Ihre Schritte.
Aufgabe 4
Finden Sie jeweils Folgen (xn ) ⊆ R und (yn ) ⊆ R mit limn→∞ xn = ∞ und limn→∞ yn = 0,
so dass nachfolgende Eigenschaften erfüllt sind:
(a) limn→∞ (xn yn ) = ∞.
(b) limn→∞ (xn yn ) = −∞.
(c) limn→∞ (xn yn ) = c, wobei c eine beliebig vorgegebene reelle Zahl ist.
(d) Die Folge (xn yn ) ist beschränkt, aber nicht konvergent.

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