Blatt 4

Analysis 1 für das Informatikstudium
Sommersemester 2016
Schüth
Übungsblatt 4
Abgabe am 24.5.2016 zu Beginn der Vorlesung
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Abgabe möglichst in Zweierteams! (oder einzeln)
Bitte verschiedene Aufgaben getrennt abgeben! Pro einzelner Aufgabe Blätter tackern!
Bitte die Namen (Zweierteam: beide!) zu jeder Aufgabe oben angeben!
Bitte auch Rückgabe-Übungsgruppe oben angeben: “Gruppe x” mit x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}!
(6 Punkte)
Aufgabe 10.
Sei (fn ) die Folge der Fibonacci-Zahlen, rekursiv definiert durch f1 := 1, f2 := 1 und
fn+1 := fn + fn−1 für alle n ≥ 2. Außerdem
√ sei (xn ) rekursiv definiert durch x1 := 1 und
1
1
xn+1 := 1 + xn für n ≥ 1. Sei g := 2 (1 + 5) die Zahl des Goldenen Schnittes; sie verdankt
ihren Namen der leicht nachzurechnenden Gleichung g1 = g+1
g . Beweisen Sie:
(−1)n
(a) fn+1 − fn g =
für alle n ∈ N (Tipp: Induktion, außerdem 1 − g = − g1 ),
gn
fn+1
(b)
→ g für n → ∞ (Tipp: (a)),
fn
fn+1
= xn für alle n ∈ N.
(c)
fn
(Wegen (b) und (c) gilt also auch xn → g für n → ∞.)
(6 Punkte)
Aufgabe 11.
Sei (yn ) eine konvergente Folge mit yn ≥ 0 für alle n ∈ N. Sei y := limn→∞ yn . Sei
√ N ∈N
√
N
N
fest gewählt, und sei (xn ) die Folge mit xn := yn (dabei definieren wir noch
0 := 0).
Beweisen Sie:
(a) Die Folge (xn ) hat mindestens einen Häufungspunkt.
(b) Für jeden Häufungspunkt x von (xn ) gilt xN = y.
√
(c) Die Folge (xn ) ist konvergent, und lim xn = N y.
n→∞
(Tipp: Verwenden Sie Sätze aus der Vorlesung!)
Aufgabe 12.
(6 Punkte)
Sei (xn ) eine Folge in R.
(a) Sei x ∈ R. Beweisen Sie: Genau dann konvergiert (xn ) gegen x, wenn jede Teilfolge
von (xn ) eine Teilfolge besitzt, die gegen x konvergiert.
(b) Wenn jede Teilfolge von (xn ) eine konvergente Teilfolge besitzt, muss (xn ) dann konvergieren?

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