Blatt 1 - Institut für Theoretische Physik

Übungen zur Theoret. Physik VI: Statistische Physik des Nichtgleichgewichts
Prof. Dr. Sabine H. L. Klapp
Dr. Alice von der Heydt
Inst. f. Theoret. Physik, TU Berlin
SoSe 2015
Abgabe: Do., 23.04.2015, 10 Uhr,
in/vor der Vorlesung
Bitte Lösungen großzügig kommentieren und mit Namen versehen!
Blatt 1
Aufgabe 1. Charakteristische Funktion, Momente, Kumulanten
(8 Punkte)
Die charakteristische Funktion der Wahrscheinlichkeitsdichte (oder -verteilung) %(x) einer
Zufallsvariablen X ist definiert durch
φ(k) := eikX , k ∈ R,
wobei h·i den Erwartungswert bezüglich der Wahrscheinlichkeitsdichte %(x)
bezeichnet,
R
explizit, falls die Ereignismenge von X reellwertig und kontinuierlich: h·i := R dx · %(x). Die
charakteristische Funktion φ(k) ist Erzeugende der Momente Mn via
n n
n d φ
Mn := hX i = (−i)
=: (−i)n φ(n) (0) und φ(0) = 1
dk n k=0
(vgl. Vorlesung), analog erhält man aus ln φ(k) die Kumulanten Cn :
ln φ(k) =
∞
X
(ik)n
n=1
n!
Cn
Berechnen Sie die charakteristische Funktion sowie die Momente M1 , M2 und die Kumulanten
C1 , C2 , C3 der folgenden Verteilungen:
a) Gaussverteilung (kontinuierlich):
(x − µ)2
%(x) = √
exp −
2σ 2
2πσ 2
1
, x ∈ R;
kann es in diesem Fall nichtverschwindende Kumulanten für n ≥ 3 geben?
b) Poissonverteilung (diskret):
%(n) =
ν n −ν
e , ν∈N
n!
Aufgabe 2. Transformationsverhalten der Kumulanten
(7 Punkte)
Die Kumulanten Cn können auch als Funktionale der Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen X aufgefasst werden, Cn (X) := Cn [%(x)]. Zeigen sie die folgenden Eigenschaften:
a) Verschiebung:
i. C1 (X + c) = C1 (X) + c, c = const.;
ii. Cn (X + c) = Cn (X), n ≥ 2
1
b) Homogenität: Cn (cX) = cn Cn (X), c = const.
c) Additivität: Cn (X1 + X2 ) = Cn (X1 ) + Cn (X2 ), X1 , X2 statistisch unabhängig
Aufgabe 3. Zentraler Grenzwertsatz
(5 Punkte)
Diese Übung soll Ihnen helfen, sich die Aussage des zentralen Grenzwertsatzes durch eigene Herleitung wieder ins Gedächtnis zu rufen: Seien X1 , . . . , XN statistisch unabhängige
und identisch verteilte (engl. i.i.d.), reellwertige Zufallsvariablen, die jeweils die (beliebige)
Verteilung %(xj ) und Mittelwert µ := hX1 i =
6 0 besitzen.
a) Drücken Sie die charakteristische Funktion φN (k) der Zufallsvariablen(-summe)
N
1 X
:=
√
(Xj − µ)
SN
N j=1
durch φµ (k) := eik(X1 −µ) aus, und verwenden Sie eine Entwicklung, um zu zeigen:
(hX12 i − µ2 ) k 2
∀ k ∈ R.
lim φN (k) = exp −
N →∞
2
Was impliziert dieses Ergebnis für die Verteilung von SN im Limes N → ∞?
b) Was folgt für den Mittelwert
µN und die relative Standardabweichung σN /µN der
P
Zufallsvariablen YN := N
X
j?
j=1
• Vorlesung: Do, Fr, 10-12 Uhr, in EW 203
• Übung/Tutorium: Mi, 10-12 Uhr, in EW 731
• Kriterien für Scheinerwerb: 50% der Punkte für die schriftlichen Übungsaufgaben, regelmäßige, aktive Teilnahme am Tutorium, Präsentieren eigener Lösung(en).
• Literatur:
∗ F. Schwabl, Statistische Mechanik (Springer, Berlin, 2006)
∗ G. Röpke, Statistische Thermodynamik des Nichtgleichgewichts (Physik-Verlag, Weinheim, 1987)
∗ H. Risken, T. Frank, The Fokker-Planck Equation — Methods of Solution and Applications (Springer, Berlin, 1996)
∗ N. G. Van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry (North-Holland,
Amsterdam, 2007)
∗ C. W. Gardiner, Stochastic Methods: A Handbook for the Natural and Social Sciences
(Springer, Berlin, 2009)
∗ P. M. Chaikin, T. C. Lubensky, Principles of Condensed Matter Physics (Cambridge
University Press, Cambridge, 1995)
∗ J. K. G. Dhont, An Introduction to Dynamics of Colloids (Elsevier, Amsterdam, 2003)
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