Blatt 9 - Ruhr-Universität Bochum

9. Übungsblatt zur Wahrscheinlichkeitstheorie I
Prof. Dr. Angelika Rohde, Kamil Jurczak WiSe 2015/2016
Aufgabe 1.
(4 Punkte)
a) Zeigen Sie, dass das Paar von reellen Zufallsvariablen (X, Z) genau dann die gleiche
Verteilung hat wie (Y, Z), wenn P (X ∈ B|Z) = P (Y ∈ B|Z) P-f.s. für jede messbare
Menge B.
b) Angenommen, das Paar reeller Zufallsvariablen (X, Y ) hat die gleiche Verteilung wie
D
e Ye ) und X ist endlich-absolut integrierbar. Zeigen Sie, dass E(X|Y ) =
e Ye ).
(X,
E(X|
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
2
Sei X ∈ L (Ω, A, P) und F ⊂ A. Zeigen Sie, dass E(X|F) die (P-f.s. eindeutige) orthogonale
Projektion von X auf den Raum L2 (Ω, F, P) ist, d.h.
inf
Y ∈L2 (Ω,F ,P)
E(X − Y )2 = E(X − E(X|F))2 .
Aufgabe 3.
(4 Punkte)
a) Sei (Yn )n∈N eine Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen mit EY1 = 1.
Zeigen Sie, dass (Xn )n∈N mit
Xn :=
n
Y
Yi , n ∈ N0
i=1
ein Martingal ist.
b) Sei (Zn )n∈N eine Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen und M (t) :=
Pn
E exp(tZ1 ) < ∞ für ein t ∈ R \ {0}. Zeigen Sie, dass für Sn := i=1 Zn , n ∈ N0 , das
sogenannte Wald’sche Martingal (Xn )n∈N0 mit
Xn :=
exp(tSn )
(M (t))n
tatsächlich ein Martingal ist.
c) Seien (Zn )n∈N eine Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen, F =
(Fn )n∈N0 die Filtration mit Fn = σ(Zi : i ≤ n) und f, g : R → R>0 Dichten. Zeigen Sie,
dass (Xn )n∈N0 mit
Xn =
n
Y
g(Zi )
f (Zi )
i=1
ein F-Martingal bildet, falls Z1 die Dichte f hat und ein Submartingal, falls Z1 die
Dichte g hat.
1
Aufgabe 4.
(4 Punkte)
Sei (Sn )n∈N eine Folge von Stoppzeiten bzgl. einer Filtration F = (Ft )t∈N0 . Zeigen Sie:
a) minn∈N Sn und supn∈N Sn sind Stoppzeiten bezüglich F.
b) Die Ereignisse {S1 ≤ S2 } und {S1 = S2 } liegen in FS1 ∩ FS2 .
c) Gilt S1 ≤ S2 , so auch FS1 ⊂ FS2 .
Abgabetermin: Freitag, 08. Januar 2016 vor Beginn der Vorlesung.
Wir wünschen Ihnen frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr!
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