Blatt 11 - Mathematik

Mathematisches Institut der Universität München
Gregor Svindland, Felix Liebrich
Sommersemester 2016
Blatt 11
27.06.2016
Übungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie
Präsenzaufgaben
T1. Es sei 1 ≤ q < p. Zeigen Sie: Ist C ⊆ Lp beschränkt in k · kp , so ist C gleichgradig
q-integrierbar, d.h. supX∈C E[|X|q ; |X| ≥ k] → 0 für k → ∞.
T2. Wir werden hier zeigen, dass Xn → X f.s. und in L1 nicht impliziert, dass dann für jede
Unter-σ-Algebra auch die bedingten Erwartungen E[Xn |G] → E[X|G] f.s. konvergieren.
Betrachten Sie unabhängige Zufallsvariablen {ξn , ηn | n ∈ N} auf einem gemeinsamen
Wahrscheinlichkeitsraum mit
Pξn = n1 δ1 + (1 − n1 )δ0 ,
Pηn = n1 δn + (1 − n1 )δ0 .
Zeigen Sie, dass Xn := ξn ηn f.s. und in L1 gegen 0 konvergiert, aber unter der Wahl von
G = σ(ξn | n ∈ N)
P(E[Xn |G] → 0) < 1.
T3. Es sei (ξk )k∈N eine Folge von u.i.v. Zufallsvariablen mit Pξ1 = 12 δ 1 + 21 δ 3 . Definieren
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Q
Sie Mn := nk=1 ξk , n ∈ N0 , ein Prozess, welcher bezüglich der zu den ξk ’s assoziierten
Filtration ein Martingal ist.
(a) Zeigen Sie, dass Mn f.s. gegen eine Zufallsvariable M∞ konvergiert. Folgern Sie aus
dem Gesetz der großen Zahlen, dass M∞ = 0 f.s.
(b) Ist M gleichgradig integrierbar?
(c) Für k ≥ 2016 und β ≥ 2 definiere τ := inf{n ≥ 0 | Mn ≥ β oder Mn ≤ 21k }. Machen
Sie sich klar, dass τ eine f.s. endliche Stoppzeit ist und zeigen Sie, dass
2k+1 − 1
2k − 1
<
P(M
≥
β)
<
.
τ
2k−1 3β − 1
β2k+1 − 1
Hausaufgaben
H1. Es seien (Xn )n∈N nichtnegative reellwertige Zufallsvariablen. Man definiere
D = {Xn = 0 für ein n ≥ 1}
und nehme an, dass P(D|X1 , ..., Xn )(ω) ≥ δ(x) > 0 für f.a. ω ∈ {Xn ≤ x}. Zeigen Sie mit
Lévys Martingalkonvergenzsatz, dass P(D ∪ {limn Xn = ∞}) = 1.
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H2. Austrittswahrscheinlichkeiten symmetrischer Irrfahrten: Betrachten Sie eine Fol1
ge (Zk )k∈N u.i.v. Zufallsvariablen
Pn mit P(Z1 = 1) = P(Z1 = −1) = 2 sowie die zugehörige
symmetrische Irrfahrt Sn := k=1 Zk , n ∈ N0 , welche nach Vorlesung bezüglich der zu
den Zk ’s assoziierten Filtration (Fn )n∈N0 ein Martingal ist. Weiterhin definieren wir für
z ∈ Z die Stoppzeit τz := inf{n ∈ N0 | Sn = z}.
(a) Machen Sie sich anhand bereits gestellter Übungsaufgaben klar, dass
M := (Sn2 − n)n∈N0
ebenfalls ein (Fn )n -Martingal ist und dass für alle a, b ∈ N τ := τb ∧τ−a wohldefiniert
und f.s. endlich ist.
(b) Stoppen Sie S geeignet und finden Sie so P(Sτ = b).
(c) Verwenden Sie M , um E[τ ] < ∞ zu zeigen und diese Erwartung zu berechnen.
(d) Zeigen Sie mit einem Widerspruchsbeweis, dass für alle a ∈ Z\{0} der Erwartungswert E[τa ] = ∞ erfüllt.
H3. Verzweigungsprozess: Bei diesem Prozess handelt es sich um ein Modell für die Fortpflanzung einer Population. Es seien (Xn,i )n∈N0 ,i∈N ⊆ L2 (Ω, F, P) u.i.v. mit P(X1,1 = k) =
P n
Xn,i , n ∈ N0 . Es bezeichne
pk für alle k ∈ N0 . Wir definieren Z0 = 1 und Zn+1 = Zi=1
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m := E[X1,1, ] und σ := var(X1,1 ). Setze Fn = σ(Xk,i | k < n, i ∈ N) und Wn := m−n Zn .
(a) Zeigen Sie: (Wn )n≥0 ist ein Martingal bezüglich (Fn )n≥0 .
(b) Zeigen Sie, dass W∞ := limn→∞ Wn f.s. existiert und dass im Falle m < 1 die
Gleichheit P(∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 : Wn = 0) = 1 gilt.
(c) Zeigen Sie, dass E[W∞ ] = 1, falls m > 1. (Hinweis: T1 und entsprechender Martingalkonvergenzsatz.)
H4. Vorbereitung auf die Brownsche Bewegung – Multivariate Normalverteilung:
Ein Zufallsvektor X = (X1 , ..., Xd ), d ∈ N,Phat eine multivariate Normalverteilung, falls
für alle u ∈ Rd die Zufallsvariable uT X = di=1 ui Xi eine eindimensionale Normalverteilung hat.1 Zeigen Sie, dass die Koordinaten Xi von X genau dann unabhängig sind, wenn
cov(Xi , Xj ) = 0 für 1 ≤ i < j ≤ d. Finden Sie weiterhin ein Beispiel zweier normalverteilter Zufallsvariablen X1 , X2 , welche cov(X1 , X2 ) = 0 erfüllen, aber nicht unabhängig
sind. (D.h. X = (X1 , X2 ) ist nicht multivariat normalverteilt.)
Abgabe: Donnerstag, den 07.07.2016, 16 Uhr.
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Hierbei verwenden wir die übliche Konvention, dass µ ∈ R der N (µ, 0)-Verteilung.
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