1 微積分学及演習 II【第５講義】海老原 T131101 ✓ 微積分の重要公式導出 ✏ x2 + 1dx I := = x x2 + 1 − 2 ここで、 √ x2 = x +1 るから、 2 +1−1 x√ x2 +1 x x× √ dx x2 + 1 √ = x2 + 1 − √x12 +1 であ ✒ 1.1 →+0 −α + 1 < 0 ∴ α > 1(α − 1 > 0) のとき、 lim 1 −α+1 = lim =∞ →+0 √ dx x2 + 1 1 ∴ I = (x x2 + 1) + log |x + 2 1 1 1 dx = lim (1 − →+0 1 − α xα 0 x2 + 1|) ✓ 練習問題 ✏ 0 2. ∞ 1 1 1 dx = lim − (1 − α →+0 α − 1 x 0 1 0 1 α−1 ) = +∞ よってこれも定義されない。 1 dx xα ✑ 1.1.2 (2) の問題の解答 ∞ 順番に解いていく。 δ 0 1 1−α 1 dx = lim (− log ) = ∞ →+0 x (1) の問題の解答 1 )= よってこれは定義されない。α = 1 のとき、 1 dx xα ✒ 1.1.1 1−α α > 1 のとき、 1 1 α−1 ✑ 広義積分の演習 1. →+0 0 < α < 1 のとき、 1 = x x2 + 1 − I + さて、lim →+0 −α+1 について考える。 −α + 1 > 0 ∴ α < 1 のとき、 lim −α+1 = 0 1 dx xα 1 1 1 dx xα 1 1 −α+1 |δ = −α+1 − 1) . . . (α = 1) 1 1 −α+1 x −α+1 (δ = xα log |x||δ = log δ . . . (α = 1) 1 すなわち、 i)α = 1 のとき、 lim δ −α+1 δ→∞ 1 dx = xα x−α dx = 1 x−α+1 −α + 1 ii)α = 1 のとき、 1 = log |x| x δ→∞ δ α−1 いよいよ広義積分を用いて具体的に計算してみると、与 式はカットオフを導入して、 1 （与式）= 0 < α < 1 のとき、 ∞ 1 1 dx xα 1 1 −α+1 |1 = −α+1 ) . . . (α −d+1 x −d+1 (1 − log |x||1 = − log . . . (α = 1) −α + 1 > 0 ∴ α < 1 のとき、 lim −α+1 = ∞ δ→∞ δ −α + 1 < 0 ∴ α > 1(α − 1 > 0) のとき、 lim 1 =0 1 1 dx = lim (δ 1−α − 1) = ∞ α δ→∞ 1 − α x α > 1 のとき、 ∞ = 1) 1 1 1 1 1 dx = lim − ( − 1) = δ→∞ α − 1 δ α−1 xα α−1 α = 1 のとき、 ∞ 1 1 dx = lim log δ = ∞ δ→∞ x あとは (1) と同じようにまとめるだけである。公式化 すると以下のようになる。 ✓ 代表的な広義積分 1 0 ∞ 1 ✏ 1 . . . (0 < α < 1) 1 1−α dx xα 定義できない . . . (1 ≤ α) 1 1 α−1 (1 < α) dx = 定義できない (0 < α ≤ 1) xα ✒ 1.2 ✑ ベータ関数・ガンマ関数 ✓ ベータ関数 ✏ 1 β(p, q) = xp−1 (1 − x)q−1 dx . . . (p > 0, q > 0) 0 ✒ ✑ 1 のとき、xp−1 0<p<1 = x1−p は x = 0 で特異的とな り定義できない。また、0 < q < 1 のとき (1 − x)q−1 = 1 は x = 1 で特異的となり定義できない。 (1−x)1−q x = 0 近傍では、 xp−1 (1 − x)q−1 xp−1 · 1 = 1 x1−p 0 < p < 1 のとき、0 < 1 − p < 1 であるから、広義積分 として収束する。 x = 1 近傍では xp−1 (1 − x)q−1 1· 1 (1 − x)1−q 0 < q < 1 のとき、同様に収束する。 ✓ ガンマ関数 ✏ ∞ Γ(p) = e−x xp−1 dx . . . (p > 0) 0 ✒ ✑ e−x xp−1 = xp−1 x→∞ −−−→ 0 ex よって、無限積分は広義積分として収束する。0 < p < 1 のとき、 e−x xp−1 = e−x 1 x1−p 1× 1 1 = 1−p x1−p x となり、ベータ関数のときと議論と同様に、収束する。 ただし以上の近似は x = 0 近傍で行われる。
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