解析学演習（１） 1 (X, · ) をノルム空間, A ⊂ X, A = ∅ とする. x, y ∈ A に対して, d(x, y) = x − y と定義すると, (A, d) は距離空間であることを示せ. 2 (X, · X) を Banach 空間, A を X の閉部分空間とする. このとき, x (x ∈ A) とすると, (A, · 3 A) A = x X は Banach 空間であることを示せ. 集合 X から集合 Y への写像全体の集合を F(X, Y ) で表す. K を実数体 R または複素数体 C とする. Y が K 上の線形空間であるとき, f , g ∈ F (X, Y ), c ∈ K に対して, f + g, cf ∈ F(X, Y ) を (f + g)(x) = f (x) + g(x) (x ∈ X), (cf )(x) = cf (x) (x ∈ X) と定義すると, F(X, Y ) は K 上の線形空間であることを示せ. 4 X を集合, Y をノルム空間, f ∈ F (X, Y ) とする. { f (x) : x ∈ X} が上に有界であるとき, f は有界であるという. X から Y への有界な写像全体の集合を F∞ (X, Y ) で表す. このとき, F∞ (X, Y ) は F(X, Y ) の部分空間であることを示せ. 5 f X を集合, Y をノルム空間とする. f ∈ F∞ (X, Y ) に対して, ∞ = sup{ f (x) : x ∈ X} と定める. このとき (1) F∞ (X, Y ) はノルム空間であることを示せ. (2) Y が Banach 空間であるとき, F∞ (X, Y ) は Banach 空間であることを示せ. ˆ = {1, · · · , N } とおく. f ∈ F (N ˆ , R) と (f (1), · · · , f (N )) ∈ RN N ∈ N に対して, N ˆ , R) は RN と同一視することができる. また, F(N ˆ , R) = を同一視することにより, F(N 注意 ˆ , R) だから, x = (ξ1 , · · · , ξN ) ∈ RN に対して, x F∞ ( N 定めると, 5 (2) より, (RN , · 注意 ∞) ∞ = max{|ξk | : k = 1, · · · , N } とは Banach 空間であることが分る. f ∈ F(N, R) と実数列 (f (k))k∈N を同一視することにより, F(N, R) は実数列全体の集合と同一視することができる. また, 有界な実数列全体の集合を l∞ と表すと, l∞ = F∞ (N, R) だから, x = (ξk )k∈N ∈ l∞ に対して, x l∞ = sup{|ξk | : k ∈ N} と定めると, 5 (2) より, l∞ は Banach 空間であることが分る. 1 1 + = 1 とする. このとき, − log が (0, ∞) 上の凸関数であることを用いて, p q 1 1 ∀a, b ≥ 0 に対して, ab ≤ ap + bq が成り立つことを示せ. p q 6 p > 1, 1 7 (H¨older の不等式) p > 1, N RN に対して, 1 1 + = 1 とする. このとき, ∀(ξ1 , · · · , ξN ), (η1 , · · · , ηN ) ∈ p q 1/p N |ξk ηk | ≤ |ξk | k=1 1/q N p |ηk | k=1 q が成り立つことを示せ. k=1 1/p N 8 N 0 < p < ∞, x = (ξ1 , · · · , ξN ) ∈ R に対して, x p = |ξk | p と定める. k=1 (1) 1 ≤ p < ∞ のとき, (RN , · p) N (2) 0 < p < 1 のとき, (R , · p) はノルム空間であることを示せ. はノルム空間でないことを示せ. (3) 1 ≤ p < q < ∞ のとき, ∀x ∈ RN , x (4) 1 ≤ p < ∞ のとき, (RN , · (5) ∀x ∈ RN , lim x p→∞ 9 p = x p) ∞ ∞ ≤ x q ≤ x p ≤ N 1/p x ∞ を示せ. は Banach 空間であることを示せ. を示せ. 1 ≤ p < ∞ に対して, 数列空間 lp を次のように定義する. 1/p ∞ p l = {x = (ξk )k∈N ∈ F(N, R) : x lp < ∞}, x lp |ξk | = p . k=1 p (1) 1 ≤ p < ∞ のとき, l はノルム空間であることを示せ. (2) 1 ≤ p < ∞ のとき, lp は Banach 空間であることを示せ. 10 収束実数列全体の集合を (c), 0 に収束する実数列全体の集合を (c0 ) で表す. (1) (c) は l∞ の閉部分空間であることを示せ. (2) (c0 ) は l∞ の閉部分空間であることを示せ. (3) 1 ≤ p < q < ∞ のとき, x l∞ ≤ x lq ≤ x lp , lp ⊂ lq ⊂ (c0 ) ⊂ (c) ⊂ l∞ を示せ. (4) 1 ≤ p < q < ∞ のとき, lp = lq , lq = (c0 ), (c) = l∞ を示せ. 11 X, Y をノルム空間, A ⊂ X, a ∈ A, f ∈ F (A, Y ) とする. (1) f が a で連続であることの定義を述べよ. (2) f が A で連続であることの定義を述べよ. (3) f が A で一様連続であることの定義を述べよ. 12 X, Y をノルム空間, A ⊂ X とする. A から Y への連続な写像全体の集合を C(A, Y ) で表す. また, A から Y への連続かつ有界な写像全体の集合を C∞ (A, Y ) で表す. (1) C(A, Y ) は F(A, Y ) の部分空間であることを示せ. (2) C∞ (A, Y ) は F∞ (A, Y ) の閉部分空間であることを示せ. (3) Y が Banach 空間であるとき, C∞ (A, Y ) は Banach 空間であることを示せ. (4) A がコンパクトであるとき, C(A, Y ) = C∞ (A, Y ) を示せ. 2 解析学演習（２）記号空でない集合 X の部分集合全体の集合を 2X で表す. また, A, B ∈ 2X に対して, A \ B = {x ∈ A : x ∈ B}, Ac = X \ A とする. 定義 X を空でない集合とする. M ⊂ 2X が次の (1), (2), (3) をみたすとき, M を X における有限加法族という. (1) X ∈ M. 13 (2) A ∈ M ⇒ Ac ∈ M. M を X における有限加法族とするとき, 次を示せ. (1) ∅ ∈ M. (2) A1 , A2 ∈ M ⇒ A1 ∩ A2 , A1 \ A2 ∈ M. n (3) n ∈ N, A1 , · · · , An ∈ M ⇒ n Ai , i=1 定義 (3) A1 , A2 ∈ M ⇒ A1 ∪ A2 ∈ M. Ai ∈ M. i=1 X を空でない集合とする. M ⊂ 2X が次の (1), (2), (3) をみたすとき, M を X における σ 加法族という. (1) X ∈ M. ∞ c (2) A ∈ M ⇒ A ∈ M. (3) Ai ∈ M (i ∈ N) ⇒ Ai ∈ M. i=1 14 M を X における σ 加法族とするとき, 次を示せ. (1) M は X における有限加法族である. ∞ (2) Ai ∈ M (i ∈ N) ⇒ Ai ∈ M. i=1 15 M を X における σ 加法族, E ∈ M, E = ∅ とする. このとき, ME = {A ∈ M : A ⊂ E} とおくと, ME は E における σ 加法族であることを示せ. 定義 M が X における σ 加法族であるとき, (X, M) を可測空間という. 定義 (X, M) を可測空間とする. µ : M → [0, ∞] が次の (1), (2) をみたすとき, µ を σ 加法的測度という. (1) µ(∅) = 0. ∞ ∞ Ai (2) Ai ∈ M (i ∈ N), {Ai }i∈N は互いに素 ⇒ µ i=1 定義 µ(Ai ). = i=1 (X, M) が可測空間, µ : M → [0, ∞] が σ 加法的測度であるとき, (X, M, µ) を測度空間という. 16 (σ 加法性) (X, M, µ) を測度空間とするとき, 次を示せ. (1) A, B ∈ M, A ⊂ B ⇒ µ(A) ≤ µ(B). ∞ (2) Ai ∈ M (i ∈ N) ⇒ µ Ai i=1 (単調性) ∞ ≤ µ(Ai ). i=1 3 (劣加法性) 17 X を空でない集合, a ∈ X とし, δa : 2X → [0, ∞] を 1 (a ∈ A のとき) δa (A) = 0 (a ∈ A のとき) と定義する. このとき, (X, 2X , δa ) は測度空間であることを示せ. (δa を Dirac 測度という.) 18 X を空でない集合とし,     0 ν(A) = n    ∞ ν : 2X → [0, ∞] を (A = ∅ のとき) (A が n 個の元からなる有限集合のとき) (A が無限集合のとき) と定義する. このとき, (X, 2X , ν) は測度空間であることを示せ. (ν を計数測度という.) 定義 X を空でない集合とする. µ : 2X → [0, ∞] が次の (1), (2) をみたすとき, µ を外測度という. (1) µ(∅) = 0. 19 ∞ (2) A ⊂ ∞ Ai ⇒ µ(A) ≤ i=1 X µ(Ai ). i=1 X を空でない集合, µ : 2 → [0, ∞] とする. このとき, µ が外測度であるための必要十分条件は, µ が次の (1), (2), (3) をみたすことであることを示せ. ∞ (1) µ(∅) = 0. (2) A ⊂ B ⇒ µ(A) ≤ µ(B). (3) µ ∞ Ai ≤ i=1 20 µ(Ai ). i=1 n ∈ N とし, I = {[a1 , b1 ) × · · · × [an , bn ) : ak , bk ∈ R, ak < bk (k = 1, · · · , n)} とおく. また, I = [a1 , b1 ) × · · · × [an , bn ) ∈ I に対して, |I| = (b1 − a1 ) · · · (bn − an ) とおく. このとき, A ⊂ Rn に対して ∞ me (A) = inf ∞ |Ii | : A ⊂ i=1 Ii , Ii ∈ I (i ∈ N) i=1 と定めると, me は外測度であることを示せ. (me を Lebesgue 外測度という.) 21 (X, M, µ) を測度空間とするとき, 次を示せ. ∞ (1) Ai ∈ M, Ai ⊂ Ai+1 (i ∈ N) ⇒ lim µ(Ai ) = µ i→∞ Ai . i=1 ∞ (2) Ai ∈ M, Ai+1 ⊂ Ai (i ∈ N), µ(A1 ) < ∞ ⇒ lim µ(Ai ) = µ i→∞ 22 Ai . i=1 ν を N における計数測度とする. Ai = {n ∈ N : n ≥ i} (i ∈ N) とおくと, Ai+1 ⊂ Ai ∞ (i ∈ N) だが, lim ν(Ai ) = ν i→∞ Ai であることを示せ. i=1 4 解析学演習（３）定義 X = R∪{−∞, ∞} とおく. D : X ×X → X を, a ∈ R, b ∈ R のとき D(a, b) = b−a; a ∈ R, b = ∞ のとき D(a, b) = ∞; a ∈ R, b = −∞ のとき D(a, b) = −∞; a = ∞, b ∈ R ∪ {−∞} のとき D(a, b) = −∞; a = −∞, b ∈ R ∪ {∞} のとき D(a, b) = ∞; a = ∞, b = ∞ のとき D(a, b) = 0; a = −∞, b = −∞ のとき D(a, b) = 0, と定める. また, P = {x ∈ R : x ≥ 0} ∪ {∞} とおき, a, b ∈ X に対して, D(a, b) ∈ P のとき, a ≤ b と定める. 23 上で定義した (X, ≤) は全順序集合であることを示せ. a, b ∈ X, a ≤ b とするとき, 定義 [a, b] = {x ∈ X : a ≤ x ≤ b}, (a, b) = {x ∈ X : a < x < b}, [a, b) = {x ∈ X : a ≤ x < b}, (a, b] = {x ∈ X : a < x ≤ b} と定義する. このとき, X = [−∞, ∞] である. 24 空でない任意の A ⊂ [−∞, ∞] に対して, sup A と inf A が [−∞, ∞] に存在することを示せ. {an }n∈N を [−∞, ∞] 内の列, I ⊂ N とする. このとき, sup{an : n ∈ I} を sup an , 定義 n∈I inf{an : n ∈ I} を inf an とかく. また, {an }n∈N の上極限 lim sup an , 下極限 lim inf an を n∈I n→∞ lim sup an = inf sup ak , n→∞ n→∞ lim inf an = sup inf ak n→∞ n∈N k≥n n∈N k≥n と定義する. 25 [−∞, ∞] の任意の列 {an }n∈N に対して, lim sup an と lim inf an が存在することを示 n→∞ n→∞ せ. また, −∞ ≤ lim inf an ≤ lim sup an ≤ ∞ を示せ. n→∞ n→∞ x ∈ [−∞, ∞] に対して, B(x) を, x ∈ R のとき, B(x) = {(x − r, x + r) : r ∈ (0, ∞)}; 定義 B(∞) = {(a, ∞] : a ∈ R}; B(−∞) = {[−∞, a) : a ∈ R}, と定義する. また, O = {A ⊂ [−∞, ∞] : ∀x ∈ A, ∃U ∈ B(x), U ⊂ A} とおく. 26 [−∞, ∞] は O を開集合系とする位相空間になることを示せ. 定義 {an }n∈N を [−∞, ∞] 内の列, a ∈ [−∞, ∞] とする. ∀U ∈ B(a), ∃N ∈ N, {an : n ≥ N } ⊂ U であるとき, a を {an }n∈N の極限といい, lim an = a n→∞ と表す. 5 27 {an }n∈N を [−∞, ∞] 内の列とするとき, 次を示せ. (1) {an }n∈N の極限は一意的である. (2) {an }n∈N の極限が存在する ⇐⇒ lim sup an = lim inf an . n→∞ n→∞ 定義 X X を空でない集合, µ : 2 → [0, ∞] を外測度とする. A ⊂ X が, ∀T ∈ 2X , µ(T ) = µ(T ∩ A) + µ(T ∩ Ac ) をみたすとき, A を µ 可測集合という. 28 X を空でない集合, µ : 2X → [0, ∞] を外測度, A ⊂ X とするとき, 次を示せ. A が µ 可測集合 ⇐⇒ ∀T ∈ 2X , µ(T ) ≥ µ(T ∩ A) + µ(T ∩ Ac ). 29 X を空でない集合, µ : 2X → [0, ∞] を外測度とする. µ(A) = 0 のとき, A は µ 可測集合であることを示せ. Carath´ eodory の定理 X を空でない集合, µ : 2X → [0, ∞] を外測度とする. µ 可測集合全体の集合を M(µ) と表し, µ0 = µ|M(µ) とすると, (X, M(µ), µ0 ) は測度空間である. (X, M(µ), µ0 ) を, 外測度 µ から導かれる測度空間という. 定義 (Rn , Mn , m) を Lebesgue 外測度 me から導かれる測度空間とする. このとき, m を Lebesgue 測度という. また, A ∈ Mn のとき, A を Lebesgue 可測集合という. 30 I を 20 で定義した Rn の部分集合族とするとき, 次を示せ. (1) I ∈ I とすると, I は Lebesgue 可測集合で, m(I) = |I|. ∞ n (2) G を R の開集合とすると, G = Ii をみたす I の列 {Ii }i∈N が存在する. i=1 (3) Rn の開集合は Lebesgue 可測集合である. 31 (X, M) を可測空間, f : X → [−∞, ∞] とする. このとき, 次の (1)∼(4) は互いに同値であることを示せ. (1) ∀t ∈ R, {x ∈ X : f (x) > t} ∈ M. (2) ∀t ∈ R, {x ∈ X : f (x) ≥ t} ∈ M. (3) ∀t ∈ R, {x ∈ X : f (x) < t} ∈ M. (4) ∀t ∈ R, {x ∈ X : f (x) ≤ t} ∈ M. 定義 (X, M) を可測空間とする. f : X → [−∞, ∞] が上の問題の (1) をみたすとき, f を M 可測関数という. 32 (X, M) を可測空間, f : X → [−∞, ∞] を M 可測関数とするとき, 次を示せ. (1) ∀t ∈ R, {x ∈ X : f (x) = t} ∈ M. (2) {x ∈ X : f (x) = ∞}, {x ∈ X : f (x) = −∞}, {x ∈ X : f (x) ∈ R} ∈ M. (3) p ∈ (0, ∞) とすると, |f |p は M 可測関数である. 33 (X, M) を可測空間, E ⊂ X とし, E の特性関数を χE で表す. このとき次を示せ. E ∈ M ⇐⇒ χE が M 可測関数. 6 解析学演習（４） 34 1 ≤ p < ∞ のとき, 数列空間 lp は可分であることを示せ. 35 数列空間 l∞ は可分でないことを示せ. 36 (X, · (x, y) X ), = x X×Y (Y, · X + y Y) Y を Banach 空間とする. このとき, (x, y) ∈ X × Y に対して, と定義すると, (X × Y, · X×Y ) は Banach 空間であることを示せ. 注意 (R, | · |) が Banach 空間であることと上の問題から, (RN , · 1) は Banach 空間であることが分る. N 定義 (X, · ) をノルム空間, xn ∈ X (n ∈ N) とする. lim ∞ n=1 ∞ ∞ xn は収束するという. また, n=1 37 xn < ∞ であるとき, n=1 ∞ Banach 空間 X において, xn は絶対収束するという. n=1 ∞ xn が絶対収束するならば, n=1 示せ. 38 xn が存在するとき, 級数 N →∞ ノルム空間 X において, ∞ xn は収束することを n=1 ∞ xn が絶対収束するならば, n=1 xn は収束する n=1 という性質が成り立つならば, X は Banach 空間であることを示せ. N 39 N x = (ξ1 , · · · , ξN ), y = (η1 , · · · , ηN ) ∈ C とき, 次を示せ. ξk ηk と定める. このに対して, (x, y) = (1) CN は C 上の内積空間である. k=1 (2) CN は Hilbert 空間である. ∞ 40 2 |ξk |2 < ∞} とし, x = (ξk )k∈N , y = (ηk )k∈N ∈ l2 に対し l = {(ξk )k∈N ∈ F (N, C) : ∞ て, (x, y)l2 = k=1 ξk ηk と定める. このとき, 次を示せ. k=1 (1) l2 は C 上の内積空間である. 41 (2) l2 は Hilbert 空間である. a, b ∈ R, a < b とする. 区間 [a, b] 上の複素数値連続関数 f , g ∈ C[a, b] に対して, b (f, g)2 = f (t)g(t) dt と定める. このとき, 次を示せ. a (1) (C[a, b], (·, ·)2 ) は C 上の内積空間である. 42 (2) (C[a, b], (·, ·)2 ) は Hilbert 空間でない. n ∈ N に対して, en = (δnk )k∈N と定義すると, {en }n∈N は l2 の完全正規直交系であることを示せ. 7 注意混乱の恐れのないとき, 可測空間 (X, M) に対して, σ 加法族 M を省略して, 可測空間 X という. また, A ∈ M のとき, A を X の可測集合, M 可測関数を可測関数という. 43 X を可測空間とする. ∀n ∈ N に対して, fn : X → [−∞, ∞] が可測関数であるとき, sup fn , inf fn , lim sup fn , lim inf fn は可測関数であることを示せ. n∈N 44 n∈N n→∞ n→∞ X を可測空間, f : X → [−∞, ∞] とするとき, 次を示せ. f は X 上の可測関数 ⇐⇒ R の任意の開集合 G に対して, f −1 (G) は X の可測集合. 45 X を可測空間, Y を R の開集合, f : X → R を可測関数, g : Y → R を連続関数とし, f (X) ⊂ Y とする. このとき, 合成関数 g ◦ f : X → R は可測関数であることを示せ. 46 f , g : X → R を可測関数, c ∈ R とすると, f + g, cf , f g は X 上の可測関数であることを示せ. また, g −1 (0) = ∅ のとき, f /g は X 上の可測関数であることを示せ. 47 X を可測空間, f , g : X → [−∞, ∞] を可測関数とするとき, {x ∈ X : f (x) < g(x)}, {x ∈ X : f (x) = g(x)}, {x ∈ X : f (x) = g(x)} は可測集合であることを示せ. 48 X を可測空間, fn : X → R を可測関数 (n ∈ N) とするとき, {x ∈ X : ∃ lim fn (x) ∈ R} は可測集合であることを示せ. n→∞ 定義 X を位相空間, f : X → (−∞, ∞] とする. ∀t ∈ R に対して, {x ∈ X : f (x) ≤ t} が X の閉集合であるとき, f は X で下半連続であるという. 49 X を位相空間とし, f : X → R とする. f が X で連続であるための必要十分条件は, f と −f が X で下半連続であることであることを示せ. 50 X をコンパクトな位相空間, f : X → (−∞, ∞] を下半連続関数とするとき, min{f (x) : x ∈ X} が存在することを示せ. 51 X を位相空間とする. ∀n ∈ N に対して, fn : X → (−∞, ∞] が下半連続ならば, sup fn は X で下半連続であることを示せ. n∈N ∞ 52 区間 [−1, 1] 上の実数値連続関数の列 {fn }n∈N で, fn ([−1, 1]) ⊂ [0, 1] をみたし, n=1 かつ inf fn が [−1, 1] で下半連続でないような例を求めよ. n∈N 53 X を距離空間, f : X → (−∞, ∞] とするとき, 次を示せ. f が X で下半連続 ⇐⇒ [ lim xn = x in X ⇒ f (x) ≤ lim inf f (xn )]. n→∞ 54 n→∞ (X, M) を可測空間とする. また, X は位相空間で, O を X の開集合系, F を X の閉集合系とする. O ⊂ M であるとき, 次を示せ. (1) F ⊂ M. (2) f : X → (−∞, ∞] が下半連続ならば, f は M 可測関数である. 8