数理解析学 A・数理解析基礎講義 A 補足プリント No.2 （2015.4.21 配布）

数理解析学 A・数理解析基礎講義 A 補足プリント No.2 （2015.4.21 配布）
プリントは http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/H27SuurikaisekiA.html にも置いてあります．
今日の講義で証明できなかった Lp (Ω) の完備性について証明を述べておきます．
定義． Ω ⊂ RN を可測集合，1 ≤ p < ∞ とする．
Ω 上の C-値可測関数 f (x) が p 乗可積分であるとは，
∫
|f (x)|p dx < ∞
Ω
を満たすことをいう．また，Ω 乗の p 乗可積分関数全体を Lp (Ω) と書く．
(∫
) p1
p
p
さらに，f ∈ L (Ω) に対し，kf kp =
|f (x)| dx
と定義する．
Ω
注意．ほとんどいたるところ一致する関数は同じと思う（そうでないと k · kp はノルムになら
ない！）．
(
)
定理． Lp (Ω), k · kp は Banach 空間である．
［証明］ k · kp が Lp (Ω) 上の norm であることは講義中に（ほぼ）示したので，Lp (Ω) が
k · kp に関して完備であること，即ち k · kp に関する Lp (Ω) の Cauchy 列が必ず Lp (Ω) 内
に極限をもつことを示す．
p
{fm }∞
m=1 ⊂ L (Ω) を Cauchy 列とする．目標は
目標：∃f ∈ Lp (Ω) s.t. lim kfm − f kp = 0
m→∞
を示すことであるが，まずは次の Claim を示す．
{
}∞
p
Claim. ∃ fmk k=1 ⊂ {fm }∞
m=1 , ∃f ∈ L (Ω) s.t. lim kfmk − f kp = 0.
k→∞
（即ち，{fm }∞
m=1
の部分列をうまく取れば
Lp -norm
で収束する）
［Claim の証明］ {fm } は Lp (Ω) の Cauchy 列であるので，
∃m1 ∈ N s.t. i, j ≥ m1 =⇒ kfi − fj kp <
1
2
が成立する．次に，
1
22
が成立する．このとき，m2 > m1 と取ることができる．同様にして各 k ∈ N に対して
∃m2 ∈ N s.t. i, j ≥ m2 =⇒ kfi − fj kp <
∃mk ∈ N s.t. i, j ≥ mk =⇒ kfi − fj kp <
1
2k
が成立し，自然数列 {mk }∞
k=1 は狭義単調増加に取ることができる．
次に，gk (x) = |fm1 (x)| +
k−1
∑
fm
i+1
(x) − fmi (x) とおく．このとき gk ∈ Lp (Ω) であり
i=1
kgk kp ≤ kfm1 kp +
k−1
∑
kfmi+1 − fmi kp （∵ Minkowski の不等式）
i=1
k−1
∑
1
< kfm1 kp +
< kfm1 kp + 1
2i
i=1
∫
(
)p
gk (x)p dx < kfm1 kp + 1 (∀k ∈ N) を得る．
が成立する．従って
Ω
一方，gk (x) ≥ 0 かつ gk+1 (x) ≥ gk (x) が成立するので，値 ∞ を許せば lim gk (x) = g(x) が
k→∞
存在し，単調収束定理より
∫
∫
p
g(x) dx =
∫
lim gk (x) dx = lim
Ω k→∞
Ω
が成立する．故に g ∈
得る．
Lp (Ω)
(
)p
gk (x)p dx ≤ kfm1 kp + 1 < ∞
p
k→∞ Ω
であり，補足プリント 1 の命題 A(3) より g(x) < ∞ a.e.x ∈ Ω を
これより，fmk (x) = fm1 (x) +
k−1
∑
(
)
fmi+1 (x) − fmi (x) とみて k → ∞ とすると，右辺の無限級
i=1
数はほとんどいたるところ絶対収束している．従って lim fmk (x) がほとんどいたるところ（有限
k→∞
値として）存在することが分かるので，その極限値を f (x) と定める．
最後に f ∈ Lp (Ω) と lim kfmk − f kp = 0 を示す．任意の k ∈ N に対して
k→∞
|fmk (x)| ≤ |fm1 (x)| +
k−1
∑
fm (x) − fm (x) = gk (x) ≤ g(x)
i+1
i
(a.e.x ∈ Ω)
i=1
であるから，k → ∞ として |f (x)| ≤ g(x) a.e.x ∈ Ω を得る．g ∈ Lp (Ω) であったので補足プリン
ト No.1 の命題 A(4) より f ∈ Lp (Ω) を得る．次に
∞
∞
∑(
) ∑
fm (x)−fm (x) ≤ g(x) (∀k ∈ N, a.e. x ∈ Ω)
|f (x)−fmk (x)| = fmi+1 (x) − fmi (x) ≤
i+1
i
i=k
i=k
故に |f (x) − fmk (x)|p ≤ |g(x)|p (∀k ∈ N, a.e. x ∈ Ω) であり g は Ω 上で可積分であるから，
Lebesgue の収束定理より
∫
∫
lim |f (x) − fmk (x)|p dx = 0.
lim kfmk − f kp = lim
|f (x) − fmk (x)|p dx =
k→∞ Ω
k→∞
Ω k→∞
［Claim の証明終わり］
最後に目標を示す．任意に ε > 0 を取る．{fm } が Lp (Ω) の Cauchy 列であるので
ε
∃M 0 ∈ N s.t. `, m ≥ M 0 =⇒ kf` − fm kp <
2
が成立する．また Claim より
∃K ∈ N s.t. k ≥ K =⇒ kfmk − f kp <
ε
2
が成立する．従って M := max{M 0 , mK } とおくと，m ≥ M ならば
ε ε
kfm − f kp ≤ kfm − fmK kp + kfmK − f kp < + = ε
2 2
であるので， lim kfm − f kp = 0 が示された．
m→∞
注意．証明をよく見ると，部分列 {fmk }∞
k=1 は f にほとんどいたるところ収束しているので，次
の定理も証明されたことになっています．
p
p
定理． {fm }∞
m=1 ⊂ L (Ω), f ∈ L (Ω) とする．いま，
lim kfm − f kp = 0
n→∞
∞
が成り立つならば，ある
{fm }∞
m=1 の部分列){fmk }k=1 が存在して f にほとんどいたるところ収
(
束する i.e. lim fmk (x) = f (x) a.e. x ∈ Ω ．
k→∞

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