Aufgabe - Zentrum Mathematik - Technische Universität München

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. Thomas Wick
Dr. Dominik Meidner
Sommersemester 2015
4. Übung zur Vorlesung „Analysis 2 (EI)“
Zentralübung (11.05.15):
Aufgabe Z 4.1:
Sei f : R2 → R gegeben durch f (x, y) = x exp(−xy) − 4y.
a) Zeigen Sie, dass durch f (x, y) = 0 eine Funktion y = g(x) für alle x ∈ R implizit definiert
ist.
b) Berechnen Sie g(0) und g 0 (0).
c) Bestimmen Sie die kritischen Punkte von g.
Aufgabe Z 4.2:
Es sei f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy.
a) Wo besitzt die durch f (x, y) = 0 implizit definierte Kurve horizontale und vertikale Tangenten?
b) Wieso lässt sich in jeder Umgebung eines Punktes mit x < 0 die Kurve als Graph einer
C 1 -Funktion y = g(x) darstellen?
c) Berechnen Sie für x < 0 die Ableitung g 0 (x).
Aufgabe Z 4.3:
Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem
p
g(x, y, z) =
x2 + y 2 + z 2 − 6 x2 + y 2 + 8
x2 + y 2 + z 2 − 2x − 6y + 8
!
!
=
0
0
a) Zeigen Sie, dass g(0, 3, 1) = 0 gilt.
b) Überprüfen Sie mit Hilfe des Satzes über implizite Funktionen, ob sich die Gleichung
g(x, y, z) = 0 im Punkt (0, 3, 1)T lokal nach x und y oder nach x und z oder nach y und z
auflösen lässt und führen Sie gegebenenfalls diese Auflösung durch.
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Tutorübungen (11.05.15 – 13.05.15):
Aufgabe T 4.1:
a) Beweisen Sie die lokale Auflösbarkeit von
x2 − 2xy − y 2 − 2x + 2y + 2 = 0
nach x in einer Umgebung U von (x0 , y0 )T = (3, 1)T und berechnen Sie h0 (1) und h00 (1) für
die implizit definierte Funktion x = h(y).
b) Berechnen Sie explizit die Funktion h(y), geben Sie die maximale Umgebung U an, und
bestätigen Sie die berechneten Ableitungswerte.
Aufgabe T 4.2:
Untersuche Sie, ob die nichtlinearen Gleichungssysteme
x1 + x2 − sin x3 = 0
exp x3 − x1 − x32 = 1
und
x1 + x2 − sin x3 = 0
exp x1 − x21 + x2 = 1
in einer Umgebung von (0, 0, 0)T nach (x2 , x3 ) aufgelöst werden können.
Aufgabe T 4.3: Untersuchen Sie mit Hilfe des Satzes über implizite Funktionen, ob sich die
Gleichung xy = y x in der Nähe der Punkte (2, 4)T und (e, e)T nach einer der beiden Variablen
auflösen lässt.
Aufgabe T 4.4:
Sei f : R3 → R3 definiert durch
f (x1 , x2 , x3 ) = (x2 + exp x3 , x3 + exp x1 , x1 + exp x2 )T .
Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix der Umkehrfunktion von f im Punkt (1 + e, 2, e)T .
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