Universität Stuttgart Institut für Theoretische Physik 1 Apl. Prof. Dr. J. Main Übungen zur Vorlesung „Nichtlineare Dynamik II“, SS 2015 3. Übungsblatt vom 30.04.2015 Scheinkriterien: Je 50 % der Schriftlichen- und Votierpunkte, sowie Vorrechnen. Quelltextdateien und Ergebnisse der schriftlichen Numerikaufgaben an den Tutor schicken: • Frank Schweiner: [email protected] Abgabe: 13.05.2015 Besprechung: 21.05.2015 Aufgabe 4: Tangentenbifurkation in Bose-Einstein-Kondensaten 15 Punkte Bose-Einstein-Kondensate mit einer laserinduzierten attraktiven 1/r-Wechselwirkung werden beschrieben durch die nichtlineare Gross-Pitaevskii Gleichung für eine effektive EinteilchenWellenfunktion (in geeigneten skalierten Einheiten) Z 0 2 2 3 0 |ψ(r )| −∆ + 8πa|ψ(r)| − 2 d r ψ(r) = µψ(r) (1) |r − r0 | mit a der Streulänge einer kurzreichweitigen Kontaktwechselwirkung und µ dem chemischen Potential. Nährerungslösungen für sphärisch symmetrische stationäre Zustände ergeben sich mit einem Gaußförmigen Variationsansatz für die (normierte) Wellenfunktion ψ(r) = k 3/2 − 1 k2 r2 e 2 π 3/4 (2) wobei der frei wählbarer Variationsparameter k so gewählt wird, dass die Mean-Field-Energie Z 0 2 2 3 0 |ψ(r )| Emf = ψ − ∆ + 4πa|ψ(r)| − d r ψ |r − r0 | Z Z Z ψ 2 (r0 ) 3 0 3 d rd r (3) = hψ| − ∆|ψi + 4πa ψ 4 (r)d3 r − ψ 2 (r) |r − r0 | ein Extremum annimmt. a) Zeigen Sie, dass die Mean-Field-Energie (3) mit dem Variationsansatz (2) die Form r r 3 2 2 3 2 Emf (k) = k + ak − k 2 π π (4) annimmt. Hinweis: Das Doppelintegral in (3) lässt sich in Schwerpunkt- und Relativkoordinaten R = 1 0 0 2 (r + r ), rrel = r − r auswerten. Der Betrag der Jacobi-Determinante für diese Transformation ist 1. b) Zeigen Sie, dass bei einer kritischen Streulänge acr = −3π/8 zwei Zustände des Kondensats in einer Tangentenbifurkation entstehen. Diskutieren Sie die Stabilität der Zustände. Ist die Entstehung zweier Zustände in einer Tangentenbifurkation auch bei der Schrödingergleichung in der „normalen“ Quantenmechanik möglich? Begründen Sie Ihre Aussage. Bitte wenden! Aufgabe 5: Garton-Tomkins-Effekt 5 schriftliche Punkte Spektren des Wasserstoffatoms im Magnetfeld zeigen bei niedriger Auflösung im Bereich der feldfreien Ionisationsschwelle (E = 0) Resonanzen in Abständen ∆E ≈ 1.5 ~ωc , wobei ωc = eB/m die Zyklotronfrequenz des freien Elektrons im Magnetfeld ist. Diese sogenannten Garton-Tomkins-Resonanzen lassen sich semiklassisch durch eine instabile periodische Bahn in der Ebene senkrecht zum Magnetfeld erklären. Die Dynamik in dieser Ebene, also mit z = 0, ρ2 = x2 + y 2 und für Lz = 0, wird beschrieben durch die Hamiltonfunktion (in SI-Einheiten) p2ρ p2ρ e2 m H= − + ωc2 ρ2 ≡ + Veff (ρ) . 2m 4πε0 ρ 8 2m a) Stellen Sie das effektive Potential Veff (ρ) graphisch für B = 6 T dar. Zeigen Sie auf diese Weise, dass die Bewegung des Elektrons für jede Energie E gebunden ist. Bestimmen Sie die Umkehrpunkte ρ1 und ρ2 für den Fall E = 0 mit beliebigem B. Hinweis: Verwenden Sie für die graphische Darstellung atomare Einheiten, d.h. Veff (ρ) = − ρ1 + 1 2 2 B 8 γ ρ mit γ = B0 und B0 = 2.35 T. b) Zeigen Sie: Die Periodendauer T der Bahn senkrecht zum Magnetfeld beträgt bei E = 0 T = 2π 3 2 ωc . Dies entspricht einem charakteristischen Energieabstand von ∆E = h 3 = ~ωc , T 2 also gerade den Garton-Tomkins-Oszillationen. Hinweis: Z 0 1 √ x dx π √ = . 3 3 1−x Aufgabe 6: Methode der stationären Phase (Teil 1) 5 schriftliche Punkte In semiklassischen Theorien treten häufig Integrale mit schnell oszillierenden Integranden auf, die mittels einer Stationäre-Phase-Näherung gelöst werden. a) Zeigen Sie: 1 (2π~)1/2 Z ∞ dx g(x) exp −∞ X g(xµ ) i i π p exp f (x) ≈ f (xµ ) + i σµ , ~ ~ 4 |f 00 (xµ )| x µ wobei xµ alle stationären Punkte von f mit f 0 (xµ ) = 0 durchläuft und +1 : f 00 (xµ ) > 0 σµ = sign f 00 (xµ ) = . −1 : f 00 (xµ ) < 0 Wir nehmen an, dass f 00 (xµ ) 6= 0 für alle stationären Punkte xµ gilt. Hinweis: Entwickeln Sie die Phase f um die stationären Punkte in eine Taylor-Reihe 2. Ordnung. Verwenden Sie außerdem Z ∞ π √ dx exp ±ix2 = π exp ±i . 4 −∞ Aufgabe 6: Methode der stationären Phase (Teil 2) 5 Punkte b) Zeigen Sie: Die Verallgemeinerung für N -dimensionale Integrale lautet X Z g(xµ ) i π 1 i N p f (x) ≈ exp f (xµ ) + i σµ , d x g(x) exp ~ ~ 4 (2π~)N/2 | det Hf (xµ )| x µ wobei die stationären Punkte durch ∇f (xµ ) = 0 gegeben sind, (Hf )ij = die Hessesche Matrix von f ist und σµ = Hf (xµ ). P ∂2f ∂xi ∂xj (µ) sign λi (µ) (µ) mit den Eigenwerten λ1 , . . . , λN von