Blatt 8

Analysis 1 für das Informatikstudium
Sommersemester 2016
Schüth
Übungsblatt 8
Abgabe am 21.6.2016 zu Beginn der Vorlesung
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Abgabe möglichst in Zweierteams! (oder einzeln)
Bitte verschiedene Aufgaben getrennt abgeben! Pro einzelner Aufgabe Blätter tackern!
Bitte die Namen (Zweierteam: beide!) zu jeder Aufgabe oben angeben!
Bitte auch Rückgabe-Übungsgruppe oben angeben: “Gruppe x” mit x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}!
(6 Punkte)
Aufgabe 22.
(a) Beweisen Sie, dass es mindestens zwei verschiedene x ∈ (0, 2) gibt, für die gilt:
x3 − x −
√
x+
1
= 0.
2
(Tipp: Zwischenwertsatz)
(b) Sei (xn ) eine Folge in (0, ∞) mit der Eigenschaft, dass die durch
yn := xn +
√
5
xn −
1
xn
definierte Folge (yn ) gegen ein y0 ∈ R konvergiert. Beweisen Sie, √
dass auch (xn ) kon5
vergiert. (Tipp: Betrachten Sie die Funktion f : (0, ∞) ∋ x 7→ x + x − x1 ∈ R. Was ist
das Bild von f ? Hat f eine stetige Umkehrfunktion?)
(6 Punkte)
∞
X
1 k
Sei exp : R ∋ x 7→
x ∈ R die Exponentialfunktion aus Aufgabe 18, und sei e = exp(1)
k!
Aufgabe 23.
k=0
die Eulersche Zahl. Beweisen Sie:
(a) Für jedes x ∈ R mit |x| ≤ 1 gilt | exp(x) − 1| ≤ |x| · (e − 1).
P∞ 1 k
|x| ?)
(Tipp: Warum ist | exp(x) − 1| ≤ k=1 k!
(b) Die Funktion exp ist stetig in x0 = 0. (Tipp: (a), und exp(0) = 1)
(c) Die Funktion exp ist stetig in jedem x0 ∈ R.
(Tipp: Folgenkriterium, (b) und Aufgabe 18(a))
Aufgabe 24.
2
(6 Punkte)
x
(a) Beweisen Sie, dass die Funktion f : [0, ∞) ∋ x 7→
∈ R gleichmäßig stetig ist.
x+1
(Tipp: |f (x) − f (x0 )| = |x − x0 | · . . . ?)
√
(b) Sei f : [0, 1] ∋ x 7→ x ∈ R. Weil [0, 1] ein beschränktes abgeschlossenes Intervall und
f stetig ist, wissen wir aus der Vorlesung, dass f gleichmäßig stetig ist. Geben Sie eine
konkrete Zahl δ > 0 mit der Eigenschaft an, dass für alle x, x0 ∈ [0, 1] mit |x − x0 | < δ
gilt: |f (x) − f (x0 )| < 10−3 (mit Beweis!). √
√
√
(Tipp: Zeigen Sie zuerst x0 + d − x0 ≤ d für alle x0 , d ≥ 0.)

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